2018_2019学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质学案新人教A版选修

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1、四　弦切角的性质[学习目标]1.理解弦切角的定义及性质，并能解决与弦切角有关的问题.2.理解弦切角定理，并能应用定理证明相关的几何问题.[知识链接]1.在前面我们研究过与圆有关的哪两种角？这两种角是如何定义的？提示　前面我们研究过圆心角和圆周角；顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角，顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角.2.在同圆或等圆中圆心角与圆周角各有什么性质，它们又有怎样的关系？提示　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.3.如下

2、图，圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE.这时∠BAE还是圆周角吗？为什么？提示　不是圆周角，因为角的一边与圆相切，只有角的两边都与圆相交时，才是圆周角.[预习导引]1.弦切角顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫作弦切角.弦切角可分为三类：(1)圆心在角的外部，如图①；(2)圆心在角的一边上，如图②；(3)圆心在角的内部，如图③.112.弦切角定理文字语言弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角符号语言AB与⊙O相切于点A，AC与⊙O相交于点A，C，点D在⊙

3、O上，但不在弦切角∠BAC所夹的弧上，则∠BAC＝∠ADC图形语言作用证明两个角相等要点一　利用弦切角定理求角例1　如图，一圆过直角三角形ABC的直角顶点C，且与斜边AB相切于D点，AD＝DB，G为中点，F为上任一点.求证：∠CFG＝∠EFD.证明　连接CD，∵AB切圆于D点，∴∠CDB＝∠DFC.∵G为的中点，∴∠CDB＝∠DFC＝2∠CFG.∵D为直角三角形ACB的斜边中点，∴CD＝AD，∴∠CDB＝2∠DCE.∵∠DCE＝∠EFD，∴∠CFG＝∠EFD.规律方法　1.本题在证明过程中，多次使用了角的转化，而转化的依据是弦切

4、角定理和圆周角定理.2.利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角.跟踪演练1　如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.解析　如图，连接BD，由弦切角定理知：∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝125°.11答案　125°要点二　利用弦切角定理证明线段成比例例2　如图所示，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥

5、BC，过B点引⊙O的切线分别交DA的延长线和CA的延长线于E，F点.(1)求证：AB2＝AE·BC；(2)已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，求EF的长.证明　(1)∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴＝，∴AB2＝AE·BC.解　(2)由(1)知△EAB∽△ABC，∴＝.又AE∥BC，∴＝，∴＝.又AD∥BC，∴＝，∴AB＝CD，∴＝，∴EF＝＝.规律方法　1.弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例

6、式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理.2.弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现.跟踪演练2　如图，PA，PB是⊙O的切线，点C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为D，E，F.求证：CD2＝CE·CF.证明　连接CA，CB.∵PA，PB是⊙O的切线.11∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB.又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，∴Rt△CAE∽Rt△CBD，Rt△CBF∽Rt△CAD，∴＝，＝，∴＝，即CD2＝CE·CF.要点

7、三　弦切角定理综合应用例3　如图所示，以△ABD的边AB为直径作半圆O交AD于C点，过点C的切线CE和BD互相垂直，垂足为E点.求证：AB＝BD.证法1　如图所示，连接OC.∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE.又BD⊥CE，∴OC∥BD，∴∠ACO＝∠D.又OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠A＝∠D，∴AB＝BD.证法2　由证法1知OC∥BD.又AO＝BO，∴AC＝CD，∴OC＝BD.又OC＝AB，∴AB＝BD.规律方法　借助于弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而

8、证得线段相等.跟踪演练3　如图所示，割线PBA过圆心O，PT为⊙O的切线，T为切点，∠APT的平分线PD分别交BT，AT于C，D.求证：△CTD为等腰三角形.证明　∵∠TDC＝∠A＋∠APT，PT是圆O的切线，∴∠PTB＝∠A.在△PTC中，∠TCD＝∠BTP＋