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《高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件学案 新人教B版必修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2．2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件[学习目标] 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．[知识链接]1．平行向量基本定理的内容是什么？答 如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.2．如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们是同向还是反向吗？答 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量
2、(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3，6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．[预习导引]1．两向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)当a∥b时，有x1y2－x2y1＝0.(2)当a∥b且x2y2≠0时，有＝.即两向量的相应坐标成比例．2．若＝λ，则P与P1、P2三点共线．当λ∈(0，＋∞)时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；当λ∈(－∞，－1)时，P位于线段P1P2的延长线上；当λ∈(－1,0)时，P位于线段P1P2的反向
3、延长线上.要点一 向量共线的判定例1 已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解 ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)．＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0，∴与共线且方向相反．方法二 ∵＝－2，∴与共线且方向相反．规律方法 此类题目应充分利用平行向量基本定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．跟踪演练1 已知A、
4、B、C三点坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且＝，＝，求证：∥.证明 设点E、F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．依题意有，＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．∵＝，∴(x1＋1，y1)＝(2,2)，∴点E的坐标为.同理点F的坐标为.∴＝.又×(－1)－4×＝0，∴∥.要点二 利用向量共线求参数例2 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？解 方法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)
5、，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)，即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，∴解得k＝λ＝－.∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－(a－3b)＝－a＋b.∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．方法二 由方法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)．∵ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.此时ka＋b＝＝－(a－3b)．∴当k＝－时
6、，ka＋b与a－3b平行，并且反向．规律方法 由向量共线求参数的值的方法跟踪演练2 设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？解 方法一 若A，B，C三点共线，则，共线，则存在实数λ，使得＝λ.∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，∴解得k＝－2，或k＝11.方法二 若A，B，C三点共线，则，共线．∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，∴
7、k2－9k－22＝0，解得k＝－2，或k＝11.要点三 向量共线的综合应用例3 如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解 方法一 设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，则＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由，共线的条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝.∴＝(4t,4t)＝(3,3)．∴P点坐标为(3,3)．方法二 设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,4)．∵，共线，∴4x－4y＝
8、0.①又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，且向量、共线，∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3，∴点P的坐标为(3,3)．规律方法 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快．跟踪演练3 如图，在▱OABP中，过点P的直线与线段OA、OB分别相交于点M、N，若＝x，＝y(
