高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理学案 苏教版必修.doc

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1、2．3　向量的坐标表示2．3.1　平面向量基本定理[学习目标]　1.通过研究一向量与两不共线向量之间的关系体会平面向量基本定理的含义，了解基底的含义.2.理解并掌握平面向量基本定理．[知识链接]1．如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量，，，，，a.答　通过观察，可得：＝2e1＋3e2，＝－e1＋4e2，＝4e1－4e2，＝－2e1＋5e2，＝2e1－5e2，a＝－2e1.2．0能不能作为基底？答　由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底．3．平面向量的基底唯一吗？答　不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底．[预习导引]1．平面向量基本定

2、理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．正交分解：一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解.要点一　平面向量基本定理的理解例1　下列说法：①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④e1，

3、e2是平面内所有向量的一组基底，若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0；⑤e1与e2是一组基底，则λ1e1＋λ2e2不一定在平面内．其中正确的是________．(写出正确的所有序号)答案　②③④解析　平面向量的基底不唯一，在同一平面内任何一组不共线向量都可以作为平面向量的一组基底．零向量可看成与任何向量平行，故零向量不能作为基底中的向量，故②③正确；④正确；⑤错，因为在平面内任一向量都可以表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2表示的向量在平面内．规律方法　对平面向量基本定理的理解是解题的关键，因为零向量与任意向量共线，故不能作基底，λ1e1＋λ2e2＝0，

4、在e1与e2不共线时，有λ1＝λ2＝0.跟踪演练1　给出下面四个命题：①若a∥b，则必存在唯一的实数λ，使b＝λa；②若λa＝μa，则λ＝μ(λ，μ∈R)；③若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么向量e1＋e2和e1－e2也能作为一组基底；④若λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2(λ1，λ2，μ1，μ2∈R)，则λ1＝μ1，λ2＝μ2.写出其中所有正确命题的序号________．答案　③解析　①若a为零向量，满足a∥b(b≠0)，但不存在实数λ，使b＝λa；②若a为零向量满足3a＝2a，但3≠2；③假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)．即(

5、1－λ)e1＝－(1＋λ)e2，所以e1和e2共线，与e1和e2不共线矛盾．从而e1＋e2与e1－e2不共线，故它们可以作为一组基底；④当e1与e2共线时，结论不一定成立．要点二　用基底表示向量例2　如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、、表示出来．解　＝－＝－＝a－b，＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b，＝－＝－(＋)＝(a＋b)．规律方法　(1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则，结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．(2)将向量c用a，b表示，常采用待定系数法，其基本思路是设c＝xa＋y

6、b，其中x，y∈R，然后得到关于x，y的方程组求解．跟踪演练2　已知梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设＝a，＝b，试以a、b为基底表示、、.解　如图，连结FD.∵DC∥AB，AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，∴DC∥FB且DC＝FB，∴四边形DCBF为平行四边形．∴＝＝＝b，＝＝－＝－＝a－b，＝－＝－－＝－－＝－－×b＝b－a.要点三　平面向量基本定理的应用例3　如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC.AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．解　设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.

7、∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ，使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得解得∴＝，∴AP∶PM＝4∶1.规律方法　(1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线．注意方程思想的应用．(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．跟踪演练3　如图，在△