高中数学第2章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案苏教版必修4

《高中数学第2章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案苏教版必修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.3.1　平面向量基本定理1．理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义．(重点)2．在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．(重点)3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．(难点)[基础·初探]教材整理1　平面向量基本定理阅读教材P74～P75第一自然段的内容，完成下列问题．1．定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．判断(正

2、确的打“√”，错误的打“×”)(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底．(　　)(2)0能与另外一个向量a构成基底．(　　)(3)平面向量的基底不是唯一的．(　　)【解析】　平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2)是错误的．(1)，(3)正确．【答案】　(1)√　(2)×　(3)√教材整理2　平面向量的正交分解阅读教材P75第二自然段的有关内容，完成下列问题．一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．如

3、图231，在△ABC中，P为BC边上一点，且＝.图231(1)用，为基底表示＝________；(2)用，为基底表示＝________.【解析】　(1)∵＝＋，＝＝，＝－，∴＝＋＝＋－＝＋.(2)＝＋＝＋.【答案】　＋　＋[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]基底的概念理解　设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是________．①e1＋e2和e1－e2；②3e1－4e2和6e1－8e2；③e1＋2

4、e2和2e1＋e2；④e1和e1＋e2；⑤2e1－e2和e1－e2.【精彩点拨】　验证所给向量是否共线，若共线则不能构成基底．【自主解答】　由题意，知e1，e2不共线，易知②中，3e1－4e2＝(6e1－8e2)，即3e1－4e2与6e1－8e2共线，∴②不能作基底．⑤中，2e1－e2＝2，∴2e1－e2与e1－e2共线，不能作基底．【答案】　②⑤向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上，若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等均不能构成基底．[再练一

5、题]1．若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．【解】　设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底．用基底表示向量　如图232所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．图232【精彩点拨】　以，为基底表示向量，，，注意三角形法则的应用．【自主解答】　＝－＝－＝a－b，＝－＝－－＝－b－(a－b

6、)＝－a＋b，＝－＝－(＋)＝(a＋b)．1．若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算，找到所求向量与基底的关系．2．若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，然后用上述方法求解．[再练一题]2．如图233所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.【导学号：06460051】图233【解】　设＝a，＝b，则由得∴∴＝－＝(2e1－e2)，∴＝e2－e1；＝＝e2－e1.[探究共研型]平面向

7、量基本定理与向量共线定理的应用探究1　平面内的任一向量都可以表示成两个不共线向量的线性组合吗？【提示】　是的．探究2　若e1，e2不共线，且λe1＋μe2＝0，则λ，μ满足什么关系？【提示】　λ＝μ＝0.　如图234，在△ABC中，点M是BC的中点，N在AC上上且AN＝2NC，AM与BN交于点P，求AP∶PM的值．图234【精彩点拨】　选取基底，→表示，→设＝λ，＝μ→由＝＋求λ，μ的值．【自主解答】　设＝a，＝b，则＝(a＋b)，＝－a＋b.∵A，P，M共线，∴设＝λ，∴＝(a＋b)，同理设＝μ，∴＝－μa＋μb.∵＝＋，∴a＝(

8、a＋b)－，∴a＝b.∵a与b不共线，∴∴λ＝，μ＝，∴＝，＝，∴AP∶PM＝4∶1.1．充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注意方程思想的应用．2．用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．