高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数第4课时课堂探究学案 新人教A版必修.doc

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1、2.1指数函数课堂探究探究一比较两个幂的大小对于两个幂的大小比较，可从以下两个方面来考虑：(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较．【典型例题1】比较下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)1.5－7，；(3)2.3－0.28,0.67－3.1.思路分析：(1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)化为同底，再比较；(3)利用中间值

2、1比较大小．解：(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7，故构造函数y＝1.7x，而函数y＝1.7x在R上是增函数．又2.5<3，∴1.72.5<1.73.(2)(化同底)1.5－7＝＝，＝＝，考察函数y＝.∵0<<1，∴y＝在R上是减函数．又7<12，∴>，即1.5－7>.(3)(中间量法)由指数函数的性质，知2.3－0.28<2.30＝1，0.67－3.1>0.670＝1，则2.3－0.28＜0.67－3.1.探究二解指数不等式解指数不等式问题，需注意三点：(1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a

3、>1与0b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如ax>bx的形式利用图象求解．【典型例题2】解下列关于x的不等式：(1)≤16；(2)a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)．思路分析：(1)将16写为，再利用指数函数的单调性求解；(2)讨论a的取值范围，利用指数函数的单调性求解．解：(1)∵≤16，∴≤.∵0<<1，∴x＋5≥－4，即x≥－9.故原不等式的解集为{x

4、x≥－9}．(2)当01时，∵a2

5、x＋1≤ax－5，∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.综上所述，当0

6、x≥－6}；当a>1时，不等式的解集为{x

7、x≤－6}．探究三指数型函数的单调性对于形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数，有以下结论：(1)函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的定义域与f(x)定义域相同；(2)若求值域，则先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定y＝af(x)的值域；(3)当a>1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当0

8、，(1)求函数的定义域及值域；(2)确定函数的单调区间．思路分析：将函数y＝分解为y＝与u＝x2－6x＋17，再根据u＝x2－6x＋17的定义域、值域、单调性确定原函数的定义域、值域、单调性．解：(1)设u＝x2－6x＋17，由于函数y＝及u＝x2－6x＋17的定义域为(－∞，＋∞)，故函数y＝的定义域为R.∵u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，∴≤.又>0，∴函数的值域为.(2)函数u＝x2－6x＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意x1，x2∈[3，＋∞)，且x1，即y1>y2，∴函数y＝在[3，＋∞)上是减函数．同理

9、可知y＝在(－∞，3]上是增函数．规律总结函数y＝af(x)可看作是函数y＝au与u＝f(x)复合而成的，其中函数u＝f(x)称为内函数，函数y＝au为外函数．函数y＝af(x)的单调性遵循“同增异减”的原则，即内外函数单调性一致时，函数y＝af(x)为增函数，内外函数单调性相反时，函数y＝af(x)是减函数．探究四易错辨析易错点　因忽略换元后新变量的取值范围而导致错误【典型例题4】设a>0，且a≠1，如果函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．错解：∵y＝(ax＋1)2－2，又∵y在[－1,1]上单调递增，∴x＝1时，y取得最大值

10、．∴a2＋2a－1＝14，即a2＋2a－15＝0，∴a＝3，或a＝－5(舍去)．∴a＝3.错因分析：当a>1时，在x∈[－1,1]内，ax∈；当01，则t∈，若01时，y在t＝a处取得最大值，∴a2＋2a－1＝14，∴a＝3.当0

11、或a＝.反思指数函数y＝ax(a>0，