高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数第3课时课堂探究学案 新人教A版必修.doc

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1、2.1指数函数课堂探究探究一指数函数的概念判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构形式．指数函数具有以下特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；(2)指数位置是自变量x，且x的系数是1；(3)ax的系数是1.【典型例题1】(1)下列函数中，哪些是指数函数？①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝(2a－1)x；④y＝2·3x.(2)函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值．思路分析：依据指数函数解析式满足的三个特征来判断．解：(1)①中，底数－8<

2、0，故不是指数函数．②中，指数不是自变量x，故不是指数函数．③中，∵a>，且a≠1，∴2a－1>0，且2a－1≠1.∴y＝(2a－1)x是指数函数．④中，3x前的系数是2，而不是1，故不是指数函数．综上所述，仅有③是指数函数．(2)由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，可得a2－3a＋3＝1，,a>0，且a≠1，解得∴a＝2.探究二指数函数的图象问题1．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0

3、数由大变小；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．实际上，无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，因此，作出直线x＝1，则该直线与各图象交点的纵坐标即为底数，由此可得底数的大小．2．因为函数y＝ax的图象恒过点(0,1)，所以对于函数f(x)＝kag(x)＋b(k，a，b均为常数，且k≠0，a>0，且a≠1)，若g(m)＝0，则f(x)的图象过定点(m，k＋b)．3．指数函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．4．处理函数图象问题

4、的常用方法：一是抓住图象上的特殊点；二是利用图象的变换；三是利用函数的奇偶性与单调性．【典型例题2】函数y＝

5、x

6、的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？思路分析：先讨论x，将函数写为分段函数，然后画出函数的图象，最后根据图象写出函数的值域和单调区间．解：∵y＝

7、x

8、＝∴其图象由y＝x(x≥0)和y＝2x(x<0)的图象合并而成．而y＝x(x>0)和y＝2x(x<0)的图象关于y轴对称，所以原函数图象关于y轴对称．由图象可知值域是(0,1]，单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．探究三求函数的

9、定义域、值域对于y＝af(x)(a>0，且a≠1)这类函数：(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．【典型例题3】求下列函数的定义域与值域．(1)；　(2)y＝－

10、x

11、.思路分析：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，在定义域内可利用指数函数的单调性来求值域．解：(1)∵由x－4≠0，得x≠4，∴定义域为{x

12、x∈R，且

13、x≠4}．∵≠0，∴≠1.∴的值域为{y

14、y>0，且y≠1}．(2)定义域为R.∵

15、x

16、≥0，∴y＝－

17、x

18、＝

19、x

20、≥0＝1.故y＝－

21、x

22、的值域为{y

23、y≥1}．方法总结求指数型函数y＝af(x)的值域主要是利用指数函数的单调性求解，因而求函数y＝f(x)的值域就成为求函数y＝af(x)值域的关键．探究四易错辨析易错点　利用换元法时，忽视中间变量的取值范围【典型例题4】求函数y＝x＋x＋1的值域．错解：令t＝x，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋≥，故当t＝－时，ymin＝，故原函数的值域是.错因分析：原函数的自变量x的

24、取值范围是R，换元后t＝x>0，而不是t∈R，错解中，t的取值范围扩大了．正解：令t＝x，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋.因为函数y＝2＋在(0，＋∞)上是增函数，所以y>1，故原函数的值域是(1，＋∞)．方法总结求形如f(ax)的函数的值域时，常利用换元法，设ax＝t，根据f(ax)的定义域求得t的取值范围，再转化为求f(t)的值域．