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《高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质课堂导学案 新人教A版必修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1.2指数函数及其性质课堂导学三点剖析一、指数函数的概念图象及性质【例1】下列函数是指数函数吗?分别求函数的定义域、值域.(1)y=56x+1;(2)y=()3x;(3)y=;(4)y=π-x;(5)y=(2a-1)x(a>,且a≠1);(6)y=.思路分析:一个函数是否为指数函数要根据定义进行判断,不是指数函数的函数,求其定义域、值域时,先求定义域,再按复合函数结构特征去求值域.解:(1)y=56x+1=5·(56)x不是指数函数,其定义域为R,设t=6x+1,则t∈R,y=5t∈(0,+∞).(2)y=()3x=［()3］x=()x是指数函数,定义域为R,值域为(0,+∞).(3)y
2、=不是指数函数,要使解析式有意义,必须x≠0,定义域为{x
3、x≠0}.设t=,则t∈(-∞,0)∪(0,+∞),y=0.7t∈(0,1)∪(1,+∞).(4)y=π-x=()x是指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞).(5)y=(2a-1)x(a>且a≠1)是指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞).(6)y=不是指数函数,要使函数有意义,必须1-2-x≥0,即1-()x≥0,也就是()x≤1=()0,得x≥0,定义域为{x
4、x≥0}.令t=1-()x,当x≥0时,0<()x≤1,0≤1-()x<1,因此t∈［0,1］,y=∈［0,1］.【例2】比较下列各组数的大小:(1)-;(2)π
5、0.3,0.923.5.思路分析:利用指数函数单调性可直接比较aα与aβ的大小.当底数不同时,往往需要插入中间值如1进行大小比较.解:(1)由于y=0.35x在(-∞,+∞)上是减函数,又->-,因此,<.(2)由于π>1,因此π0.3>π0=1,0<0.92<1,则0.923.5<0.920=1,从而有π0.3>0.923.5.温馨提示因为a0=b0=1,当aα、bβ比较大小时(a、b>0,且a、b≠1),往往插入中间值1,使aα、bβ能够通过与1的比较进而区别大小.二、指数函数性质的应用【例3】根据所给条件,确定x的取值范围.(1)()-3x+5<2;(2)(2a-1)x-5>(2a-1
6、)2x-1(a>且a≠1).思路分析:此类题目解决的依据是指单调性.解:(1)()-3x+5<2(2-1)-3x+5<223x-5<2.由单调性可知3x-5<1,即x<2.(2)当0<2a-1<1,即(2a-1)2x-1x-5<2x-1,得x>-4;当2a-1>1,即a>1.(2a-1)x-5>(2a-1)2x-1x-5>2x-1,得x<-4.温馨提示求解指数中含有未知数的不等式时，必须注意底数是大于1还是大于零且小于1，然后再利用相应指数函数单调性进行解答，可归纳为：当a＞1时，＞f（x）＞g（x）；当0＜a<1时，＞f（x）＜g（x）.三、指数函数的单调性【
7、例4】试判断函数f（x）=的单调性.错解：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=-=.∵x1＜x2，∴-x1＞-x2.∴ax1＜ax2，a-x1＞a-x2.∴ax1-ax2＜0，a-x2-a-x1＜0.∴f（x1）-f（x2）＜0.∴f（x1）＜f（x2），即f（x）=是增函数.错因分析：上述解法错误的原因是忽略了指数函数的单调性，应在a＞1与0＜a＜1中分别讨论.正解：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=-=.∵x1＜x2，∴-x1＞-x2.当a＞1时，ax1＜ax2，a-x1＞a-x2，∴ax2-ax1＞0，a-x1-a-x2＞0，∴f（x2）-
8、f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），此时f（x）是增函数.当0＜a＜1时，ax1＞ax2，a-x1＜a-x2，∴ax2-ax1＜0，a-x1-a-x2＜0，∴f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）此时f（x）是减函数.故当a＞1时，f（x）是增函数，当0＜a＜1时，f（x）是减函数.温馨提示指数函数y=ax单调性与底数a有关，当a＞1时，单调递增；当0＜a＜1时，单调递减.初学者，在解题时最容易忽视这一点，如＞（）xx2-x＞x，再如，若x2-x＞x得＞ax.应熟练掌握如下等价式：当a＞1时，＞＝f（x）g（x）当0＜a＜1时，＞f（x）＜g（x）.各个击破类题演练1(1
9、)指出下列函数哪些是指数函数：（1）y=x4;（2）y=-4x;（3）y=（-4）x;（4）y=xx;（5）y=2x2;（6）y=πx.答案：（6）是指数函数.(2)求下列函数的定义域和值域:(1)y=;(2)y=;(3)y=0.2-x+25x+1;(4)y=.解析：（1）∵-x+1≥0，∴x≤1.∴定义域为{x
10、x≤1}，值域［1，+∞］.（2）∵3x-9≥0，∴x≥2，∴定义域为{x
11、x≥2},值域为［0
