高中数学 第二章 函数单元小结教案 新人教B版必修.doc

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1、第二章函数教学分析　　　　　本节课是对第二章的基本知识和方法的总结和归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．本章内容，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体．三维目标　　　　　通过总结和归纳函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．重点难点　　　　　教学重点：①函数的基本知识．②含有字母问题的研究．③抽象函数的理解．教学难点：①分类讨论的标准划

2、分．②抽象函数的理解．课时安排　　　　　1课时导入新课　　　　　函数的概念和性质以及二次函数是高考的必考内容之一，为了系统掌握本章知识，教师直接点出课题．推进新课　　　　　讨论结果：思路1例1求函数y＝的最大值和最小值．分析：把变量y看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x的方程，利用判别式的符号得关于y的不等式，解不等式得y的取值范围，从而得函数的最值．解：(判别式法)由y＝得yx2－3x＋4y＝0，∵x∈R，∴关于x的方程yx2－3x＋4y＝0必有实数根．当y＝0时，则x＝0，故y＝0是一个函数

3、值；当y≠0时，则关于x的方程yx2－3x＋4y＝0是一元二次方程，则有Δ＝(－3)2－4×4y2≥0，∴0＜y2≤.∴－≤y＜0或0＜y≤，综上所得，－≤y≤.∴函数y＝的最小值是－，最大值是.点评：形如函数y＝(d≠0)，当函数的定义域是R(此时e2－4df＜0)时，常用判别式法求最值，其步骤是：①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2＋nx＋k＝0；②分类讨论m＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x的方程mx2＋nx＋k＝0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2－4mk≥0即关于

4、y的不等式，解不等式组此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值．例2函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　　)A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数解析：函数f(x)＝x2－2ax＋a的对称轴是直线x＝a，由于函数f(x)在开区间(－∞，1)上有最小值，所以直线x＝a位于区间(－∞，1)内，即a＜1.g(x)＝＝x＋－2，下面用定义法判断函数g(x)在区间(1，＋∞)上的单调性．设1＜x1＜x2，则g(

5、x1)－g(x2)＝(x1＋－2)－(x2＋－2)＝(x1－x2)＋(－)＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2)，∵1＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1＞0.又∵a＜1，∴x1x2＞a.∴x1x2－a＞0.∴g(x1)－g(x2)＜0.∴g(x1)＜g(x2)．∴函数g(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，函数g(x)在区间(1，＋∞)上没有最值．故选D.答案：D点评：定义法判断函数f(x)的单调性步骤是：①在所给区间上任取两个变量x1、x2；②比较f(x1)与f(x2)的大小，通常利用作差比较它们的

6、大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积(商)等；③由②中差的符号确定函数的单调性．注意：函数f(x)在开区间D上是单调函数，则f(x)在开区间D上没有最大值，也没有最小值．例3求函数f(x)＝的单调区间．分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间．解：函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．设y＝，u＝x2－1，当x≥0时，u＝x2－1是增函数，y＝也是增函数，又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴函数f(x)＝在[

7、1，＋∞)上是增函数．当x≤0时，u＝x2－1是减函数，y＝也是增函数，又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴函数f(x)＝在(－∞，－1]上是减函数．即函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1]．点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数y＝f[g(x)]，如果y＝f(u)，u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f[g(x)]为增函数，如果具有相异(即相反)的单调性，则函数y＝f[

8、g(x)]为减函数．讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并分别判断其单调性；③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增异减”，判断出复合函数的单调性或写出其单调区间．注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是[0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]．其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则．思路2例1某商场以1