高中数学 第二章 函数 2.3 函数的单调性学案 北师大版必修.doc

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1、2.3函数的单调性[核心必知]1．函数在区间上增加(减少)的定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1x2∈A，当x1＜x2时：(1)都有f(x1)＜f(x2)，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的．(2)都有f(x1)＞f(x2)，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的．2．函数的单调区间如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．3．函数的单调性如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集

2、上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．4．单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．[问题思考]1．在增加的和减少的函数定义中，能否把“任意x1，x2∈A”改为“存在x1，x2∈A”？提示：不能，如图，虽然存在－1＜2使f(－1)＜f(2)，但f(x)在[－1,2]上并不是增加的．2．函数f(x)＝的单调减区间能否写成(－∞，0)∪(0，＋∞)?提示：不能，如x1＝－1，x2＝1满足x1＜x2，但有f(x1)＝－1＜f(x2)

3、＝1，不符合减少的要求．3．函数区间端点对函数单调区间有作用吗？是否应考虑？提示：函数在某一点处的单调性并无意义．所以不存在单调性问题．在书写函数的单调区间时，区间端点开或闭一般可不予考虑．若端点处函数有意义，包括不包括端点均可；但若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间．讲一讲　试判断函数f(x)＝在其定义域上的单调性，并加以证明．[尝试解答]　函数定义域为{x

4、x≠1}，又f(x)＝＝＝＋1，可由反比例函数y＝图像得其图像如图所示：由图像知，函数在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数，证明如下：设x1，x2∈(1，＋∞)，

5、且x1＜x2，则f(x1)＝，f(x2)＝.f(x2)－f(x1)＝－＝.∵1＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0.∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x2)＜f(x1)．∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数，同理可证f(x)在(－∞，1)上为减函数．综上f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数．判断函数的单调性通常利用定义法和图像法两种．而证明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：(1)设元：设x1，x2为区间上的任意两个变量，且x1＜x2；(2)作差：计算f(x1)－f(x2)；(3)变形：将差式变形

6、整理(配方、通分、因式分解)；(4)判号：结合题设判定差的符号；(5)定论：结合单调性的定义下结论．练一练1．试讨论函数f(x)＝(a≠0)在其定义域内的单调性．解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(1)设x10，x1x2>0.当a>0时，有>0，即f(x1)>f(x2)；当a<0时，有<0，即f(x1)0时，f(x)＝(a≠0)在(－∞，0)上是减函数；当a<0时，f(x)＝(a≠0)在(－

7、∞，0)上是增函数．(2)同理，f(x)＝(a≠0)在(0，＋∞)上，当a>0时是减函数，当a<0时是增函数．综上所述，函数y＝(a≠0)，当a>0时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；当a<0时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数.讲一讲　求函数y＝－x2＋2

8、x

9、＋3的增区间和减区间．[尝试解答]　y＝－x2＋2

10、x

11、＋3＝函数图像如右图所示．由图像可知：函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．∴函数的单调增区间是(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间是[－1

12、,0]，[1，＋∞)．(1)求函数单调区间的常用方法有：①转化为已知的基本初等函数(如一次，二次等函数)的单调性判断；②图像法；③定义法；(2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须在函数的定义域内进行．练一练2．求函数y＝

13、x＋1

14、＋

15、2－x

16、的单调区间．解：函数可化为分段函数形式：y＝法一：由解析式可知函数的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)．法二：作出y＝的图像，由图像观察得．单调增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)．讲一讲　(1)已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，试

17、比较f(a2－a＋1)与f的大小；(2)已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．[尝试解答]　(1)∵a2－a＋1＝2＋≥，∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值．又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，∴