2018版高中数学 第二章 函数 2.3 函数的单调性学案 北师大版必修1

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1、2.3　函数的单调性1．理解函数单调性的概念及其几何意义．(难点)2．掌握用定义证明函数单调性的步骤．(重点)3．会求函数的单调区间，理解函数单调性的简单应用．(易混点)[基础·初探]教材整理1　函数在区间上增加(减少)的定义阅读教材P36～P37第二自然段结束，完成下列问题.在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1f(x2)f(x)在区间A上是减少的(递减的)　如图231，气温θ关于时间t的函数，记为θ＝f(t)，观察这个函数的图像，说出气温

2、在哪些时间段内是递增的或是递减的？图231【解】　在时间段[0,4]及[14,24]内气温θ随时间t是递减的，在时间段[4,14]内气温θ随时间t是递增的．教材整理2　单调区间、单调性和单调函数的概念阅读教材P37第三自然段开始～P38“函数f(x)＝3x＋2是R上的增函数”的有关内容，完成下列问题．1．函数的单调区间如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．2．函数的单调性如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或减少的，那么就称函数y＝

3、f(x)在这个子集上具有单调性．3．单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．　判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在区间A上存在x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在区间A上是增加的．(　　)(2)若函数y＝f(x)在区间A上是减少的，当x1，x2∈A，且f(x1)＜f(x2)时，有x1＞x2.(　　)(3)函数f(x)＝在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减少的，则f(x)为减函数．(　　)【答案】　(1)×　(2)√　(3)×教材整理3　函数最大值、

4、最小值的概念阅读教材P38第二自然段及左侧“思考”～P39“练习”以上内容，完成下列问题．1．函数最大值的概念一般地，对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x0)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)．2．函数最小值的概念一般地，对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x0)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(

5、x)的最小值，记作ymin＝f(x0)．　函数f(x)在[－2,2]上的图像如图232所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)图232A．f(－2)，0　　　　　　B．0,2C．f(－2)，2D．f(2)，2【解析】　由函数最大、最小值概念知，C正确．【答案】　C[小组合作型]用定义判断或证明函数的单调性　证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．【精彩点拨】　在(0,1)上任取x1，x2且x1＜x2，只需证明f(x1)＞f(x2)．【尝试解答】　　证明：设0＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝.已知0＜x1＜

6、x2＜1，则x1x2－1＜0，x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．用定义判断或证明单调性的步骤：,(1)设元：在指定区间内任取x1，x2且x1＜x2.,(2)作差变形：计算f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子(几个因式的积或几个完全平方式的和).,(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论.,(4)判断：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断函数的单调性.[再练一题]1．本例中，“函数f(x)＝x＋”

7、不变，讨论f(x)在(0，＋∞)上的单调性．【解】　设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2).①当0＜x1＜x2≤1时，x1－x2＜0，1－＜0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．因此f(x)＝x＋在(0,1]上是减函数．②当1＜x1＜x2时，x1－x2＜0，1－＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．因此f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是增函数．综上所述，函数f(x)在(0,1]上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数.利用图像求函数的单调区间　画出函数y＝－x2＋2

8、x

9、＋3的图像，并指出函数的单

10、调区间.【