高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1 指数函数互动课堂学案 苏教版必修.doc

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1、3.1指数函数互动课堂疏导引导2.2.1　分数指数幂1.如果一个实数x满足xn=a(n>1,n∈N*)，那么称x为a的n次实数方根.当n为奇数时，x=;当n为偶数时，x=±(a>0).2.根式的性质(1)()n=a;(2)n为奇数时,nan=a;(3)n为偶数时,=

2、a

3、.3.分数指数幂的意义(1)=;(2)=(a>0,m,n∈N*且n>1).4.有理数指数幂的运算性质(1)as·at=as+t;(2)(as)t=ast;(3)(a·b)t=at·a-t(s,t∈Q,a>0,b>0).疑难疏引1

4、.当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，并由此引出了正数的正分数指数幂的意义，然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义，从而将指数幂的概念推广到有理数.除此之外，还可将有理数指数幂推广到实数指数幂，有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.2.指数幂与根式运算的统一性指数幂与根式运算的统一性是指化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式.在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式.如、都不是最简形式.3

5、.经常要用的公式(1)a-b＝(-)(+)；(2)a±2＋b＝(±)2；(3)a±b＝(±)().●案例1求下列各式的值.(1);(2);(3);(4)-÷(+).【探究】对于根指数为奇数类型的处理相对简单一些，而对于根指数为偶数的情况则很容易出错，应避免出现讨论不周的情况.(1)=-8;(2)=

6、-10

7、=10;(3)==π2;(4)-÷(+)=-=2-(2-3)=3.【溯源】当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根只有一个，记为x=na.当n

8、为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号na表示，负的n次实数方根用符号-na表示，它们可以合并写成±(a＞0)的形式.特别地，0的n次实数方根等于0.●案例2已知a=-，b=，试求÷的值.【探究】就此类问题一般而言,要先将所求代数式化简，再代入具体数值进行求解.显然a≠0，所以有：原式=×=====.【溯源】在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则.熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键.2.2.2　指数函数

9、函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.疑难疏引指数函数作为指数运算的扩展而成为高中研究的重点函数之一，其中难点主要体现在由于底数的范围不同而造成的性质的不同，故在解决某些问题时应充分注意区分底数分别在a>1和0

10、方面对指数函数加以剖析，因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.●案例1比较下列三个数1.5-0.5，1.20.7,(-0.3)0的大小，并按照从小到大的顺序排列.【探究】1.5-0.5=考查指数函数y=可知在01,(-0.3)0=1,所以1.5-0.5<(-0.3)0<1.20.7.【溯源】比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时，直接比较指数即可；当底数和指数不同时，要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的

11、大小常借助中间量0、1等进行比较.3.指数函数的图象和性质疑难疏引注意用单调性的定义研究有关指数函数的单调性问题.学会利用函数图象解决简单的数学问题.(1)单调性是指数函数的重要性质，特别是由函数图象的无限伸展，x轴是函数图象的渐近线.当01时，x→-∞,y→0,当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.当0

12、函数图象的位置与底数大小的关系.认识指数函数中底数逐渐变化时函数图象的渐变过程；注意函数y=bax=(ba)x，因此在判断“指数型”复合函数的单调性时，不要简单的看底数，例如函数y=2-x是减函数不是增函数.函数y=ax+h+k的图象可由函数y=ax的图象平移得到，因此它们的性质有很多类似.●案例2指数函数①f(x)=mx;