高中数学 第三章 变化率与导数 3 计算导数学案 北师大版选修.doc

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1、§3计算导数对于函数y＝－x2＋2x.问题1：如何求f′(1)?提示：f′(1)＝.问题2：如何求f′(x)?提示：f′(x)＝.问题3：f′(x)与f′(1)有什么关系？提示：f′(1)可以认为把x＝1代入导函数f′(x)得到的值．1．导函数若一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，简称为导数．2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数函数导函数y＝c(c是常数)y′＝0y＝

2、sinxy′＝cos_xy＝xα(α为实数)y′＝αxα－1y＝cosxy′＝－sin_xy＝ax(a>0，a≠1)y′＝axln_a，特别地(ex)′＝exy＝tanxy′＝y＝logax(a>0，a≠1)y′＝，特别地(lnx)′＝y＝cotxy′＝－1．导数公式表中(ax)′＝axlna与(logax)′＝较易混淆，要区分公式的结构特征，找出它们之间的差异去记忆．2．f′(x)与f′(x0)既有区别，又有联系，f′(x)是导函数，f′(x0)是当x＝x0时导函数f′(x)的一个函数值，是一个确定

3、的值．利用导函数的定义求导数[例1]　一运动物体的位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数关系式为s(t)＝t2＋t.求s′(0)，s′(2)，s′(5)，并说明它们的意义．[思路点拨]　先求出s(t)的导函数，然后分别把t＝0,2,5代入即可．[精解详析]　由题意Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝(t＋Δt)2＋(t＋Δt)－(t2＋t)＝(Δt)2＋2t·Δt＋Δt.∴＝＝Δt＋2t＋1.当Δt趋于0时，可以得出导函数为s′(t)＝＝(Δt＋2t＋1)＝2t＋1.因此，s′(0)＝2×0＋1＝

4、1，它表示物体的初速度为1m/s；　s′(2)＝2×2＋1＝5，它表示物体在第2s时的瞬时速度为5m/s；s′(5)＝2×5＋1＝11，它表示物体在第5s时的瞬时速度为11m/s.[一点通]　利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤：(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点都有导数；(2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(3)当Δx趋于0时，得到导函数f′(x)＝.1．已知函数f(x)＝x2＋x，则f′(x)＝(　　)A．1　　　　　　　　　B．2C．2xD．2x＋1解析：f′(x)＝＝

5、＝(2x＋Δx＋1)＝2x＋1.答案：D2．求函数f(x)＝2x2＋4x的导数，并利用导函数f′(x)求f′(3)的值．解：f′(x)＝＝＝(4x＋2Δx＋4)＝4x＋4，f′(3)＝4×3＋4＝16.利用导数公式求导数[例2]　求下列函数的导数．(1)y＝x；(2)y＝log3x；(3)y＝；(4)y＝5x.[思路点拨]　先对函数式进行必要的化简，再选择导数公式进行求解．[精解详析]　(1)y＝x＝x，∴y′＝(x)′＝x＝.(2)y′＝(log3x)′＝.(3)∵y＝＝＝tanx，∴y′＝(tan

6、x)′＝.(4)y′＝(5x)′＝5xln5.[一点通]　求简单函数的导函数有两种基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．3．若f(x)＝，则f′(1)＝(　　)A．0　　　　　　　　　　B．－C．3D.解析：f′(x)＝(x)′＝x－＝，∴f′(1)＝.答案：D4．给出下列结论：①(cosx)′＝sinx；②′

7、＝cos；③若y＝，则y′＝－；④′＝－.其中，正确的命题序号是________．解析：因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误；sin＝，而′＝0，所以②错误；′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；′＝(x)′＝－x＝－＝－，故④正确．答案：④导数的应用[例3]　(1)若直线l过点A(0，－1)且与曲线y＝x3切于点B，求B点坐标．(2)若直线l与曲线y＝x3在第一象限相切于某点，切线的斜率为3，求直线l与坐标轴围成的三角形面积．[思路点拨]　(1)可设出切点为(x0，x)，由导数的几何意义及

8、斜率公式建立关于x0的方程求解．(2)先求切线的方程，从而求出切线与x，y轴的交点坐标，再求三角形的面积．[精解详析]　(1)y′＝3x2，设B(x0，x)(x0≠0)，则切线斜率k＝3x.又直线l过点(0，－1)，∴k＝.∴3x＝，∴2x＝1，∴x0＝，x＝，∴B.(2)设切点为(x0，x)(x0>0)，则该切线斜率为3x.∴3x＝3，x0＝1，则切点为(1,1)．∴直线l的方程为：y－1＝3(x－1)．直线l与坐标轴交点分别为(0，－2)，，∴直线l