2020版高中数学 第三章 变化率与导数 3 计算导数学案（含解析）北师大版选修1 -1

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1、§3　计算导数学习目标　1.会求函数在一点处的导数.2.理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数．知识点一　导函数如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)，f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定

2、义的一个新函数，是函数知识点二　导数公式表函数导函数y＝c(c是常数)y′＝0y＝xα(α为实数)y′＝αxα－1y＝ax(a>0，a≠1)y′＝axlnay＝exy′＝exy＝logax(a>0，a≠1)y′＝y＝lnxy′＝y＝sinxy′＝cosxy＝cosxy′＝－sinxy＝tanxy′＝y＝cotxy′＝－1．函数f(x)与f′(x)的定义域相同．(　√　)2．求f′(x0)时，可先计算出f(x0)，再对f(x0)求导．(　×　)3．求f′(x0)时，可先求出f′(x)，再求f′(x)在x＝x0处的函数值．(　√　)题型一　利

3、用导函数求某点处的导数例1　求函数f(x)＝－x2＋3x的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(3)，f′(－1)．考点　导函数题点　利用导函数求某点处的导数解　∵f′(x)＝＝＝(－Δx－2x＋3)＝－2x＋3，即f′(x)＝－2x＋3，∴f′(3)＝－2×3＋3＝－3，f′(－1)＝－2×(－1)＋3＝5.反思感悟　f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的函数值．计算f′(x0)可以直接使用定义，也可以先求f′(x)，然后求f′(x)在x＝x0处的函数值f′(x0)．跟踪训练1　求函数y＝f(x)＝＋5的导函数f′(x)，并利用f′

4、(x)，求f′(2)．考点　导函数题点　利用导函数求某点处的导数解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝＋5－＝，∴＝，∴f′(x)＝＝＝－.∴f′(2)＝－.题型二　导数公式表的应用例2　求下列函数的导数．(1)y＝sin；(2)y＝x；(3)y＝log3x；(4)y＝；(5)y＝5x.考点　基本初等函数的导数公式题点　基本初等函数导数公式的应用解　(1)y′＝0.(2)因为y＝x＝，所以y′＝＝＝.(3)y′＝(log3x)′＝.(4)因为y＝＝＝tanx，所以y′＝(tanx)′＝.(5)y′＝(5x)′＝5xln5.反思感悟　对于教

5、材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现′＝cos这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可先转化为指数式，再利用公式求导．跟踪训练2　求下列函数的导数．(1)y＝(1－)＋；(2)y＝x13；考点　基本初等函数的导数公式题点　基本初等函数导数公式的应用解　(1)∵y＝(1－)＋＝＋＝＝，∴y′＝.(2)y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12.题型三　导数公式的综合应用命题角度1　利用导数公式求解切线问题例3　已知

6、点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．考点　基本初等函数的导数公式题意　利用导数公式求解切线问题解　因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．设切点为(x0，y0)，由PQ的斜率为k＝＝1，而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－.所以切点为(－，)．所以所求切线方程为y－＝(－1)(x＋)，即4x＋4y＋1＝0.引申探究若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解　因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)

7、，由PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，所以2x0＝1，即x0＝.所以切点为M.所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.反思感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用(1)切点处的导数是切线的斜率．(2)切点在切线上．(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．跟踪训练3　(1)若直线l过点A(0，－1)且与曲线y＝x3切于点B，求B点坐标；(2)若直线l与曲线y＝x3在第一象限相切于某点，切线的斜率为3，求直线l与坐标轴围成的三角形面积．解　(1)y′＝3x2，设B(x0，x)(x0≠0)，则切线斜率k＝3x.又直线

8、l过点(0，－1)，∴k＝.∴3x＝，∴2x＝1，∴x0＝，x＝，∴B.(2)设切点为(x0，x)(x0>0)，则该切线斜率为3x，∴3x＝3，x0＝1，则切点为(1,1)．∴直线l的方程为y