高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例(二)学案 新人教B版必修.doc

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1、1.2 应用举例(二)[学习目标] 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题.2.能够运用正、余弦定理解决力学或几何方面的问题.[知识链接] 有人说物理学科中的题实质上是数学的应用题,事实上学习物理离不开数学,数学在物理学中的应用非常广泛,本节课我们来研究正、余弦定理在测量方面,及在物理中的力学、平面几何方面的应用.要点一 测量角度问题例1 如图在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/时的速度,从B处向北偏东30°方向逃窜.问:缉

2、私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,则CD=10t海里,BD=10t海里.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=(-1)2+22-2(-1)·2·cos120°=6,∴BC=(海里).又∵=,∴sin∠ABC===,∴∠ABC=45°,∴B点在C点的正东方向上,∴∠CBD=90°+30°=120°.在△BCD中,由正弦定理,得=,∴sin∠BCD===.∴∠BCD=30°,∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,∴

3、∠CDB=30°,∴BD=BC,即10t=.∴t=小时≈15分钟.∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题,解决这类问题一定要搞清方位角,再就是选择好不动点,然后根据条件,画出示意图,转化为三角形问题.跟踪演练1 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处,乙船以每小时a海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时a海里,问甲船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇?解 如图所示.设经过t小时两船在C点相遇,则在△ABC中,BC=at海里,AC=at海里,B=90°+30°=120°,由=得:sin∠C

4、AB====.∵0°<∠CAB<90°,∴∠CAB=30°.∴∠DAC=60°-30°=30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇.要点二 正、余弦定理在几何中的应用例2 如图所示,半圆O的直径为2,A为直径延长线上的一点,OA=2,B为半圆上任意一点,以AB为一边作等边三角形ABC,问:点B在什么位置时,四边形OACB面积最大?解 设∠AOB=α,在△ABC中,由余弦定理,得AB2=12+22-2×2cosα=5-4cosα,α∈(0,π),于是,四边形OACB的面积为S=S△AOB+S△ABC=OA·OB·sinα+AB2=×2×1×sinα+(5-4cosα

5、)=sinα-cosα+=2sin(α-)+.因为0<α<π,所以当α-=,α=π,即∠AOB=π时,四边形OACB面积最大.规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画示意图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化.跟踪演练2 如图所示,在△ABC中,已知BC=15,AB∶AC=7∶8,sinB=,求BC边上的高AD的长.解 在△ABC中,由已知设AB=7x,AC=8x,x>0,由正弦定理得=.∴sinC==×=.∴C=60°(C=120°舍去,否则由8x>7x,知B也为钝角,不合要求).由余弦定理得(7x)2=(8x)2+152-2×8x

6、×15cos60°,∴x2-8x+15=0,解得x=3或x=5.∴AB=21或AB=35,在△ABD中,AD=ABsinB=AB,∴AD=12或20.1.已知两座灯塔A,B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的(  )A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°答案 B解析 如图,因△ABC为等腰三角形,所以∠CBA=(180°-80°)=50°,60°-50°=10°,故选B.2.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30km内的地区为危险区,城市B在A的正东40km处,B

7、城市处于危险区内的时间为(  )A.0.5hB.1hC.1.5hD.2h答案 B解析 设A地东北方向上点P到B的距离为30km,AP=x.在△ABP中,PB2=AP2+AB2-2AP·ABcosA,即302=x2+402-2x·40cos45°,化简得x2-40x+700=0.设该方程的两根为x1,x2,则

8、x1-x2

9、2=(x1+x2)2-4x1x2=400,

10、x1-x2

11、=20,即P1P2=20,故t===1.故选B.3.一艘海轮从A处出发

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