高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例（二）学案 新人教B版必修.doc

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1、1．2　应用举例(二)[学习目标]　1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题.2.能够运用正、余弦定理解决力学或几何方面的问题．[知识链接]　有人说物理学科中的题实质上是数学的应用题，事实上学习物理离不开数学，数学在物理学中的应用非常广泛，本节课我们来研究正、余弦定理在测量方面，及在物理中的力学、平面几何方面的应用．要点一　测量角度问题例1　如图在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉

2、私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t海里，BD＝10t海里．在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝(海里)．又∵＝，∴sin∠ABC＝＝＝，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得＝，∴sin∠BCD＝＝＝.∴∠BCD＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴

3、∠CDB＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.∴t＝小时≈15分钟．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．规律方法　航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题．跟踪演练1　甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解　如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at海里，AC＝at海里，B＝90°＋30°＝120°，由＝得：sin∠C

4、AB＝＝＝＝.∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°.∴∠DAC＝60°－30°＝30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．要点二　正、余弦定理在几何中的应用例2　如图所示，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？解　设∠AOB＝α，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝12＋22－2×2cosα＝5－4cosα，α∈(0，π)，于是，四边形OACB的面积为S＝S△AOB＋S△ABC＝OA·OB·sinα＋AB2＝×2×1×sinα＋(5－4cosα

5、)＝sinα－cosα＋＝2sin(α－)＋.因为0<α<π，所以当α－＝，α＝π，即∠AOB＝π时，四边形OACB面积最大．规律方法　利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练2　如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sinB＝，求BC边上的高AD的长．解　在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，x>0，由正弦定理得＝.∴sinC＝＝×＝.∴C＝60°(C＝120°舍去，否则由8x>7x，知B也为钝角，不合要求)．由余弦定理得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x

6、×15cos60°，∴x2－8x＋15＝0，解得x＝3或x＝5.∴AB＝21或AB＝35，在△ABD中，AD＝ABsinB＝AB，∴AD＝12或20.1．已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°答案　B解析　如图，因△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.2．台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，B

7、城市处于危险区内的时间为(　　)A．0.5hB．1hC．1.5hD．2h答案　B解析　设A地东北方向上点P到B的距离为30km，AP＝x.在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化简得x2－40x＋700＝0.设该方程的两根为x1，x2，则

8、x1－x2

9、2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，

10、x1－x2

11、＝20，即P1P2＝20，故t＝＝＝1.故选B.3．一艘海轮从A处出发