高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例教学案 新人教A版选修.doc

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1、1.4　几何中的最值问题[典例]　有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？[解]　设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，V(x)＝(a－2x)2x,0

2、可能是极值点．且当00；当x1

3、积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．　　　　　　[活学活用]1．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．解析：设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.∴h＝，又圆柱的体积V＝πr2h＝(S－2πr2)＝，V′(r)＝，令V′(r)＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，因为V′(r)只有一个极值点，故当h＝2r时圆柱的容积量大．又r＝，∴h＝2＝.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.答

4、案：2．将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？解：设弯成圆的一段长为x(0＜x＜100)，另一段长为100－x，记正方形与圆的面积之和为S，则S＝π2＋2(0＜x＜100)，则S′＝－(100－x)．令S′＝0，则x＝.由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点，问题中面积之和最小值显然存在，故当x＝cm时，面积之和最小．故当截得弯成圆的一段长为cm时，两种图形面积之和最小.用料、费用最少问题[典例]　某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为2

5、56万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？[解]　(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2＋)x＝＋m＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.当0

6、′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝－1＝－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答．　　　　　　[活学活用]某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是多少？解：设场地宽为xm，则长为m，因此新墙总长度为y＝2x＋(x＞0)，y′＝2－，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8.因为当0＜x＜8时

7、，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8m，长为16m.即当堆料场的长为16m，宽为8m时，可使砌墙所用材料最省.利润最大问题[典例]　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销