高中数学 导数及其应用1.4生活中的优化问题举例学案新人教a版

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1、§1.4　生活中的优化问题举例学习目标　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点　生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．(3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．1．生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．(　√　)2．解决应用问题的关键是建立数学模型．(　√　)类型一　几何中的最值问题例1　请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切

2、去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点　利用导数求几何模型的最值问题题点　利用导数求几何体体积的最值问题解　∵V(x)＝(x)2×(60－2x)×＝x2×(60－2x)＝－2x3＋60x2(0

3、∵当00；当20

4、距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．跟踪训练1　(1)已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．考点　利用导数求几何模型的最值问题题点　利用导数求几何体体积的最值问题(2)将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________cm.考点　利用导数求几何模型的最值问题题点　利用导数求面积的最值问题答案　(1)　(2)解析　(1)设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，∴圆柱

5、的表面积S＝2πr2＋2πrh.∴h＝，又圆柱的体积V＝πr2h＝(S－2πr2)＝，V′(r)＝，令V′(r)＝0，得S＝6πr2，∴h＝2r，∵V′(r)只有一个极值点，∴当h＝2r时圆柱的容积最大．又r＝，∴h＝2＝.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.(2)设弯成圆的一段铁丝长为x(0

6、类型二　实际生活中的最值问题例2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3

7、)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3