高中数学 第2章 推理与证明 2.2.1 直接证明学案 苏教版选修.doc

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1、2.2.1　直接证明1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤.(重点)2.会用综合法、分析法证明一些数学问题.(重点、难点)3.综合法、分析法的格式区别.(易混点)[基础·初探]教材整理　直接证明阅读教材P46～P48“练习”以上部分，完成下列问题.直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明.1.综合法(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.(2)推证过程：⇒…⇒…⇒

2、.2.分析法(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.(2)推证过程：⇐…⇐…⇐.1.判断正误：(1)综合法是直接证明，分析法的过程是演绎推理.(　　)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.(　　)(3)证明不等式“＋<＋”最合适的方法是分析法.(　　)(4)在解决问题时，可用分析法寻找解题思路，再用综合法展现解题过程.(　　)【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)

3、√2.命题“对于任意角θ，cos4θ-sin4θ＝cos2θ”的证明过程“cos4θ-sin4θ＝(cos2θ-sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ-sin2θ＝-＝cos2θ”应用了________(填“综合法”或“分析法”).【解析】　从证明的过程可知，本题是从已知条件出发证得结果，故为综合法.【答案】　综合法3.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件为________.【导学号：】【解析】　要证∠A为钝角，只需证cosA＝<0即可，

4、也就是b2＋c2sinAsinB，则△ABC的形状一定是__________.(2)已知方程(x2-mx＋2)(x2-nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为的等比数列，则

5、m-n

6、＝__________.(3)下面的四个不等式：①a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)；②a(1-a)≤；③＋

7、≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有__________.【自主解答】　(1)∵cosAcosB>sinAsinB，∴cosAcosB-sinAsinB>0，∴cos(A＋B)>0，即cos(π-C)>0，∴cosC<0，又0

8、系数的关系可得，m＝x1＋x4＝，n＝x2＋x3＝3，∴

9、m-n

10、＝.(3)①a2＋b2＋3＝＋＋＋＋＋≥2＋2＋2＝ab＋(a＋b)(当且仅当a2＝b2＝3时，等号成立).②a(1-a)＝-a2＋a＝-2＋≤.③当a与b异号时，不成立.④∵a2d2＋b2c2≥2abcd，∴(ac＋bd)2＝a2c2＋b2d2＋2abcd≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2＋b2)(c2＋d2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立.【答案】　(1)钝角三角形　(2)　(3)①②④1.综合法处理问题的三

11、个步骤→↓→↓→2.用综合法证明不等式时常用的结论(1)ab≤2≤(a，b∈R)；(2)a＋b≥2(a≥0，b≥0).[再练一题]1.综合法是(　　)A.执果索因的逆推证法B.由因导果的顺推证法C.因果分别互推的两头凑法D.原命题的证明方法【答案】　B分析法的应用　设a，b为实数，求证：≥(a＋b).【精彩点拨】　待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键.【自主解答】　当a＋b≤0时，∵≥0，∴≥(a＋b)成立.当a＋b>0时，用分析法证明如下：要证≥(a＋b)，只需证()2≥2，即证a2＋b

12、2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴≥(a＋b)成立.综上所述，不等式成立.1.当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误.2.逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.[再练一题]2.已知a>0，->1，求证：>.【证明】　由已知->1及a>0可知0，只需证·>1，只需证1＋