2018高中数学 第2章 推理与证明 2.2.1 直接证明学案 苏教版选修1 -2

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1、2．2.1　直接证明[学习目标]　1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．[知识链接]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答　综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．必修5中基本不等式≥(a>0，b>0)是怎样证明的？答　要证≥，只需证a＋b≥2，只需证a＋b－2≥0，只需证(－)2≥0，因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．[预习导引]1．直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题

2、成立的证明通常称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．2．综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法．3．分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法通常称为分析法.要点一　综合法的应用例1　已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.证明　方法一　∵a，b是正数且a＋b＝1，∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.方法二　∵a，b是正数，∴a＋b≥2>0，＋≥2>0，∴(a＋b)≥4.又a

3、＋b＝1，∴＋≥4.方法三　＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”．规律方法　利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的优化解法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法．跟踪演练1　在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边

4、分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明　由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.①因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝.③由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝.所以△ABC为等边三角形．要点二　分析法的应用例2　设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．证明　当a＋b≤0时，∵≥0，∴≥(a＋b)成立．当a＋b>0时，用分析法证

5、明如下：要证≥(a＋b)，只需证()2≥2，即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴≥(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．规律方法　分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”．跟踪演练2　如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.求证：AF⊥SC.证明　要证

6、AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC)，只需证AE⊥平面SBC，只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC)．由SA⊥平面ABC可知上式成立，所以AF⊥SC.要点三　综合法和分析法的综合应用例3　已知a、b、c是不全相等的正数，且0abc.由公式≥>0，≥>0，≥>0，又∵a，b，

7、c是不全相等的正数，∴··>＝abc.即··>abc成立．∴logx＋logx＋logx