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《高中数学 2.2 几种常见的平面变换 2.2.1-2.2.2 几种常见的平面变换恒等变换 伸压变换教学案 苏教版选修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2．2.1～2.2.2 恒等变换 伸压变换1．恒等变换矩阵和恒等变换对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵对应的变换，都把自己变成自己．我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵(简记为E)，所实施的对应的变换称作恒等变换．2．伸压变换矩阵和伸压变换像矩阵，这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩，作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称做沿y或x轴的垂直伸压变换矩阵；对应的变换称为垂直伸压变换，简称伸压变换．[说明](1)线段经过伸压变换以后仍然是线段，直线仍然是直线，恒等变换是伸压变换的特例．(2)将平面图
2、形F作沿x轴方向的伸压变换，其对应的变换矩阵的一般形式是(k>0)，沿y轴方向的伸压变换对应的矩阵形式是(k>0)．求点在变换作用下的象[例1] 在直角坐标系xOy内矩阵对应的坐标变换公式是什么？叙述这个变换的几何意义，并求出点P(4，－3)在这个变换作用下的象P′.[思路点拨] 根据矩阵与变换之间的关系求出变换公式，此变换为伸缩变换，然后写出点P在此变换下的象．[精解详析] 由＝得对应的坐标变换公式为，这个变换把平面上的点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍；当x＝4，y＝－3时，x′＝2，y′＝－
3、6，故点P在这个变换下的象为P′(2，－6)．把变换与矩阵之间的对应关系理解清楚，用数(即二阶矩阵与列向量的乘法)研究形(即变换作用下的象)．1．已知矩阵M＝，求出点A(3，)在矩阵M对应变换作用下的象A′.解：＝∴A′(9，)．2．研究直角坐标平面内正方形OBCD在矩阵M＝对应的变换作用下得到的几何图形，其中O(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)．解：矩阵M为恒等变换矩阵，O、B、C、D在矩阵对应的恒等变换作用下变成自身，即分别为O′(0,0)，B′(2,0)，C′(2,2)，D′(0,2)，
4、仍然是正方形OBCD.求曲线在变换作用下的象[例2] 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．[思路点拨] 求曲线F的方程即求F上的任意一点的坐标(x，y)满足的关系式．[精解详析] 设P(x0，y0)是椭圆上的任意一点，点P(x0，y0)在矩阵A对应的变换作用下得到的点为P′(x，y)，则有＝＝，即所以又因为点P(x0，y0)在椭圆上，所以4x＋y＝1，从而有x＋y＝1，所以曲线F的方程是x2＋y2＝1.先利用二阶矩阵与列向量的乘法把P(x0、y0
5、)与P′(x，y)的关系找出，再利用已知曲线的方程即可得到所求的方程．3．求圆C：x2＋y2＝4在矩阵A＝对应的伸压变换下所得的曲线的方程，并判断曲线的轨迹．解：设P(x，y)是圆C：x2＋y2＝4上的任意一点，而P1(x′，y′)是P(x，y)在矩阵A＝对应的伸压变换下的曲线上的对应点，则＝＝，即所以代入x2＋y2＝4得＋y′2＝4，所以方程＋＝1即为所求的曲线方程，其表示的曲线的轨迹为椭圆．4．已知圆C：x2＋y2＝1在矩阵A＝(a>0，b>0)对应的变换下变为椭圆x2＋＝1，求a，b的值．解：设P(x0，
6、y0)为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为点P′(x，y)，则＝，所以又因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，所以x＋y＝1，所以＋＝1，即圆C在矩阵A对应的变换下的象为＋＝1.由已知条件可知，变换后的椭圆方程为x2＋＝1，所以a2＝1，b2＝4，又因为a>0，b>0，所以a＝1，b＝2.5．已知矩阵M1＝，M2＝，研究圆x2＋y2＝1先在矩阵M1对应的变换作用下，再在矩阵M2对应的变换作用下，所得的曲线的方程．解：设P0(x0，y0)为圆上的任意一点，在M1的作用下变为P1(x1，y1)，P1在
7、M2的作用下变为P2(x2，y2)，即＝，＝.∴∴即∵P0在圆x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1.∴x＋4y＝1，故所求曲线的方程为＋4y2＝1.1．求圆x2＋y2＝9在矩阵M＝对应的变换作用后所得图形的面积．解：矩阵M＝所对应变换是恒等变换，在它的作用下，圆x2＋y2＝9变成一个与原来的圆恒等的圆，故所求图形的面积为9π.2．已知点(x，y)在矩阵对应的变换作用下变为点(－1,3)，试求x，y的值．解：由＝，得解得3．在平面直角坐标系中，已知线性变换对应的二阶矩阵为.求：(1)点A(，3)在该变换作用下的象；(2
8、)圆x2＋y2＝1上任意一点P(x0，y0)在该变换作用下的象．解：(1)由＝，得点A(，3)在该变换作用下的象为(，)；(2)由＝，得点P(x0，y0)在变换作用下的象为(x0，)．4．求出如图所示的图形在矩阵M＝对应的变换作用下所成的图形，并画出示意图，其中点A(1,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(3,1)，E(3,2)，F(0,2)，G(0,1)，H(1,1)．解：M＝对应
