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时间:2018-08-06
《2017-2018学年高中数学2.2.1-2.2.2几种常见的平面变换恒等变换伸压变换教学案苏教版选修4-2》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案2.2.1~2.2.2 恒等变换 伸压变换1.恒等变换矩阵和恒等变换对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵对应的变换,都把自己变成自己.我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵(简记为E),所实施的对应的变换称作恒等变换.2.伸压变换矩阵和伸压变换像矩阵,这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称做沿y或x轴的垂直伸压变换矩阵;对应的变换称为垂直伸压变换,简称伸压变换.[说明](1)线段经过伸压变换以后仍然是线段,直线仍然是直线,恒等变换是伸压变换的特例
2、.(2)将平面图形F作沿x轴方向的伸压变换,其对应的变换矩阵的一般形式是(k>0),沿y轴方向的伸压变换对应的矩阵形式是(k>0).求点在变换作用下的象[例1] 在直角坐标系xOy内矩阵对应的坐标变换公式是什么?叙述这个变换的几何意义,并求出点P(4,-3)在这个变换作用下的象P′.[思路点拨] 根据矩阵与变换之间的关系求出变换公式,此变换为伸缩变换,然后写出点P在此变换下的象.[精解详析] 由=得对应的坐标变换公式为,这个变换把平面上的点的横坐标缩短到原来的7苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案,纵坐标伸长到原来的2倍;当x=
3、4,y=-3时,x′=2,y′=-6,故点P在这个变换下的象为P′(2,-6).把变换与矩阵之间的对应关系理解清楚,用数(即二阶矩阵与列向量的乘法)研究形(即变换作用下的象).1.已知矩阵M=,求出点A(3,)在矩阵M对应变换作用下的象A′.解:=∴A′(9,).2.研究直角坐标平面内正方形OBCD在矩阵M=对应的变换作用下得到的几何图形,其中O(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2).解:矩阵M为恒等变换矩阵,O、B、C、D在矩阵对应的恒等变换作用下变成自身,即分别为O′(0,0),B′(2,0),C′(2,2),D′(0,2),仍
4、然是正方形OBCD.求曲线在变换作用下的象[例2] 在平面直角坐标系xOy中,设椭圆4x2+y2=1在矩阵A=对应的变换作用下得到曲线F,求曲线F的方程.[思路点拨] 求曲线F的方程即求F上的任意一点的坐标(x,y)满足的关系式.[精解详析] 设P(x0,y0)是椭圆上的任意一点,点P(x0,y0)在矩阵A对应的变换作用下得到的点为P′(x,y),则有==,即所以又因为点P(x0,y0)在椭圆上,所以4x+y=1,从而有x+y=1,所以曲线F的方程是x2+y2=1.7苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案先利用二阶矩阵与列向量的乘法
5、把P(x0、y0)与P′(x,y)的关系找出,再利用已知曲线的方程即可得到所求的方程.3.求圆C:x2+y2=4在矩阵A=对应的伸压变换下所得的曲线的方程,并判断曲线的轨迹.解:设P(x,y)是圆C:x2+y2=4上的任意一点,而P1(x′,y′)是P(x,y)在矩阵A=对应的伸压变换下的曲线上的对应点,则==,即所以代入x2+y2=4得+y′2=4,所以方程+=1即为所求的曲线方程,其表示的曲线的轨迹为椭圆.4.已知圆C:x2+y2=1在矩阵A=(a>0,b>0)对应的变换下变为椭圆x2+=1,求a,b的值.解:设P(x0,y0)为圆C上的任意
6、一点,在矩阵A对应的变换下变为点P′(x,y),则=,所以又因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上,所以x+y=1,所以+=1,即圆C在矩阵A对应的变换下的象为+=1.由已知条件可知,变换后的椭圆方程为x2+=1,所以a2=1,b2=4,又因为a>0,b>0,所以a=1,b=2.5.已知矩阵M1=,M2=,研究圆x2+y2=1先在矩阵M1对应的变换作用下,再在矩阵M2对应的变换作用下,所得的曲线的方程.7苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案解:设P0(x0,y0)为圆上的任意一点,在M1的作用下变为P1(x1,y1),P1在M
7、2的作用下变为P2(x2,y2),即=,=.∴∴即∵P0在圆x2+y2=1上,∴x+y=1.∴x+4y=1,故所求曲线的方程为+4y2=1.1.求圆x2+y2=9在矩阵M=对应的变换作用后所得图形的面积.解:矩阵M=所对应变换是恒等变换,在它的作用下,圆x2+y2=9变成一个与原来的圆恒等的圆,故所求图形的面积为9π.2.已知点(x,y)在矩阵对应的变换作用下变为点(-1,3),试求x,y的值.解:由=,得解得3.在平面直角坐标系中,已知线性变换对应的二阶矩阵为.求:(1)点A(,3)在该变换作用下的象;(2)圆x2+y2=1上任意一点P(x0,
8、y0)在该变换作用下的象.7苏教版2017-2018学年高中数学选修4-2教学案解:(1)由=,得点A(,3)在该变换作用下的象为(,)
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