高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及其应用(一)学案 新人教A版必修.doc

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1、第一章　三角函数三角函数1．2　任意角的三角函数1.2.1　任意角的三角函数的定义及其应用(一)1．理解并掌握任意角的三角函数的定义及其表示，能熟练求三角函数的值．2．理解并掌握三角函数线的几何表示，能利用三角函数线确定三角函数值的取值范围或角的取值范围．一、任意角的三角函数1．单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆．2．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合．在直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点P(x，y)，则r＝

2、OP

3、＝1.那么：(1)y叫做α

4、的正弦，记作sinα，即y＝sinα；(2)x叫做α的余弦，记作cosα，即x＝cosα；(3)叫做α的正切，记作tanα，即＝tanα(x≠0)．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为三角函数．练习1：已知角A的终边与单位圆的交点为P0，求角α的正弦、余弦和正切值．解析：由三角函数定义知，sinα＝y＝，cosα＝x＝－，tanα＝＝－.1．三角函数的值与点P在终边上的位置有关系吗？解析：利用三角形的相似性可知任意角α的三角函数值只与α有关，而与点P

5、的位置无关．对于α角的终边上任意一点P，设其坐标为(x，y)，点P到原点的距离r＝>0.(1)比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝；(2)比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝；(3)比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝.点P在单位圆上是一种特殊情形．二、三角函数值在各个象限内的符号1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号．sinα＝，其中r>0，于是sinα的符号与y的符号相同，即：当α是第一、二象限角时，sinα>0；当α是第三、四象限角时，

6、sinα<0.cosα＝，其中r>0，于是cosα的符号与x的符号相同，即：当α是第一、四象限角时，cosα>0；当α是第二、三象限角时，cosα<0.tanα＝，当x与y同号时，它们的比值为正，当x与y异号时，它们的比值为负，即：当α是第一、三象限角时，tanα>0；当α是第二、四象限角时，tanα<0.2．根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：“sinα＝：上正下负横为0；cosα＝：左负右正纵为0；tanα＝：交叉正负”．形象的识记口诀2：“一全正二正弦，三正切四余弦”．练习2：已知角α的终边过点P0

7、(－3，－4)，求角α的正弦、余弦和正切值．解析：∵r＝＝5，∴sinα＝－，cosα＝－，tanα＝.2．你知道形象的识记口诀的意思吗？解析：口诀：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负．三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值相等，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)：sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝c

8、osα，tan(2kπ＋α)＝tanα，k∈Z.3．公式一中的角α一定是锐角吗？解析：公式一中的角α为任意角，公式一都成立．四、三角函数的定义域三角函数sinαcosαtanα定义域RR　　　　　　　　　　　　　　4．三角函数线有哪些特征？应用三角函数线体现了什么数学思想方法？解析：(1)三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外．(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边

9、与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点．(3)三条有向线段的正负：三条有向线段与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值．(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面．应用三角函数线解决问题体现了数形结合的思想方法．1．若－<α<0，则点Q(cosα，sinα)位于(D)A．第一象限　　　　　　　B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵－<α<0，则cosα>0，sinα<0，故选D.2．已知角α的终边过点P，则cosα＝(B)A.　　　　B.　

10、　　　C.　　　　D．±解析：∵点P是单位圆上一点，则cosα＝x＝，故选B.3．有下列四个命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不相等；③若sinα>0，则α是第一或第二象限角；④若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝.其中，不正确命题的个数是(C)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①正确；②不正确；③不正确，例：α＝也成立；④不正确