课堂新坐标高中数学第1章直线多边形圆1.1.4平行线分线段成比例定理学案北师大版选修4.doc

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1、1.4　平行线分线段成比例定理1.理解平行线分线段成比例定理及其推论.2.理解三角形内角平分线定理.3.能利用平行线分线段成比例定理及三角形内角平分线定理证明比例式或求值.[基础·初探]教材整理1　平行线分线段成比例定理(1)定理的内容：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例.(2)符号语言表示：如图1123，若l1∥l2∥l3，则＝.图11231.如图1124，已知DE∥BC，则下列比例式成立的是(　　)图1124A.＝B.＝C.＝D.＝【解析】　由平行线分线段成比例定理的推论知，＝.【答案】　C2.如图1125所示，已知AA′∥BB′∥CC

2、′，AB∶BC＝1∶3，那么下列等式成立的是(　　)图1125A.AB＝2A′B′B.3A′B′＝B′C′C.BC＝B′C′D.AB＝A′B′【解析】　根据平行线分线段成比例定理知，＝＝，∴3A′B′＝B′C′.【答案】　B教材整理2　平行线分线段成比例定理的推论(1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的对应线段成比例.(2)符号语言表示：如图1126，若l1∥l2∥l3，则＝.图11263.如图1127，已知＝，DE∥BC，则等于(　　)图1127A.B.C.D.【解析】　∵DE∥BC，＝.∴＝，∴＝.又∵＝，∴

3、＝.【答案】　C教材整理3　三角形内角平分线定理　(1)定理的内容：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.(2)符号语言表示：如图1128，AD为∠BAC的平分线，则＝.图11284.在△ABC中，若AB＝3，AC＝5，∠BAC的平分线交BC于D，则＝________.【解析】　根据三角形内角平分线定理知，＝＝.【答案】　[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]平行线分线段成比例定理　如图1129所示，已知l1∥l2∥l3，＝.求证：＝.

4、图1129【精彩点拨】　根据平行线分线段成比例定理，寻求与的关系，再用合比性质证明.【自主解答】　∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，∴＝，∴＝.利用平行线分线段成比例定理来计算或证明.首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式.在计算或几何证明的同时，注意等比性质、合比性质等的运用.[再练一题]1.如图1130所示，已知：a∥b∥c，那么下列结论中错误的是(　　)图1130A.由AB＝BC，可得FG＝GHB.由AB＝BC，可得OB＝OGC.由CE＝2CD，可得CA＝2BCD.由GH＝FH，可得CD＝DE【解析】　选项正误原因分析A√∵a

5、∥b∥c，∴由定理知，若AB＝BC，则FG＝GHB×由于OB，OG不是一条直线被平行线组截得的线段，因此OB＝OG是错误的C√∵CE＝2CD，∴CD＝DE，∴由定理，知CB＝BA，∴CA＝2BCD√∵GH＝FH，∴FG＝GH，∴由定理，知CD＝DE【答案】　B平行线分线段成比例定理的推论　如图1131，M是▱ABCD的边AB的中点，直线l过M分别交AD，AC于E，F，交CB延长线于N，若AE＝2，AD＝6.求AF∶AC的值.图1131【精彩点拨】　由AD∥BC，AM＝MB推出AE＝BN可得AF∶AC的值.【自主解答】　∵AD∥BC，AM＝MB，∴＝

6、，∴＝.∵＝＝1，∴AE＝BN.∴＝＝.∵AE＝2，BC＝AD＝6，∴＝＝，即AF∶AC＝1∶5.1.解答本题时，根据题意寻找使用平行线分线段成比例定理的推论的条件是解题的关键.2.运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或计算比值.应分清相关三角形中的平行线段及所截边，并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等.[再练一题]2.如图1132，已知AE∥CF∥DG，AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，CF＝12cm，求AE，DG的长.【导学号：】图1132【解】　∵AE∥CF，∴＝，∴AE＝·CF，∵AB∶BC＝1∶2，CF＝12cm，∴AE＝×12

7、＝6(cm)，∵CF∥DG，∴＝.∵＝，∴＝，∴DG＝·CF＝×12＝30(cm).三角形内角平分线定理　如图1133所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为底边BC上的任意一点，过E作与AD平行的直线，分别交直线AB，CA于F，G，求证：＝.图1133【精彩点拨】　在三角形中，只要存在内角平分线，要考虑三角形内角平分线定理的应用.【自主解答】　∵EF∥AD，∴＝.又∵AD平分∠BAC，∴＝.即＝，∴＝.∵AD∥EG，∴＝，∴＝.解题时注意角平分线定理与平行线分线段成比例定理的综合应用，关键是寻找由公共边构成的比例关系.[再练一题]3.如图113

8、4所示，CD是∠ACB的角平分线，DE∥CB，BC＝2，AC＝3，则DE＝________.图1134【解析】　∵CD平分