2018高考数学一轮复习第七章数列推理与证明第34课等差数列及其前n项和教师用书.doc

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1、第34课等差数列及其前n项和[最新考纲]内容要求ABC等差数列√1.等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列.用符号表示为an+1-an=d(n∈N+,d为常数).(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫作a,b的等差中项.2.等差数列的有关公式(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.(2)前n项和公式:Sn=na1+=.3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N+).(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak

2、+al=am+an.(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差为md的等差数列.1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(  )(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2.(  )(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(  )(4)

3、数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(  )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=0,则公差d=____________.-2 [依题意得S3=3a2=6,即a2=2,故d=a3-a2=-2.]3.(2017·南京模拟)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=____________时,{an}的前n项和最大.8 [由等差数列的性质可知,a7+a8+a9=3a8,a7+a10=a8+a9,故a8>0,a8+a9<0,∴a9<0,即当n=8时,{an}的前n项和最大.]4

4、.(2016·江苏高考)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a=-3,S5=10,则a9的值是________.20 [法一:设等差数列{an}的公差为d,由S5=10,知S5=5a1+d=10,得a1+2d=2,即a1=2-2d,所以a2=a1+d=2-d,代入a1+a=-3,化简得d2-6d+9=0,所以d=3,a1=-4.故a9=a1+8d=-4+24=20.法二:设等差数列{an}的公差为d,由S5=10,知=5a3=10,所以a3=2.所以由a1+a3=2a2,得a1=2a2-2,代入a1+a=-3,化简得a+2a2+1=0,所以a2=-1.公差d=a3-a2=2

5、+1=3,故a9=a3+6d=2+18=20.]5.(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数.16 [由题意知,能被6整除的数构成一个等差数列{an},则a1=6,d=6,得an=6+(n-1)6=6n.由an=6n≤100,即n≤16=16,则在100以内有16个能被6整除的数.]等差数列的基本运算 (1)(2017·苏州模拟)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=____________.【导学号:】(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,则m=________

6、____.(1) (2)10 [(1)∵公差为1,∴S8=8a1+×1=8a1+28,S4=4a1+6.∵S8=4S4,∴8a1+28=4(4a1+6),解得a1=,∴a10=a1+9d=+9=.(2)设等差数列{an}的公差为d,依题意解得∴am=a1+(m-1)d=7m-40=30,∴m=10.][规律方法] 1.等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知三求二,体现了方程思想的应用.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法,称为基本量法.[变式训练1] (1)已知等差数

7、列{an}的前n项和为Sn,且满足-=1,则数列{an}的公差是____________.(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=__________.(1)2 (2)-72 [(1)∵Sn=,∴=,又-=1,得-=1,即a3-a2=2,∴数列{an}的公差为2.(2)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由已知,得解得∴S16=16×3+×(-1)=-72.]等差数列的判定与证明 已知数列

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