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《线性代数习题全解矩阵及其运算.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章 矩阵及其运算1．已知线性变换：求从变量到变量的线性变换．解由已知：故2．已知两个线性变换求从到的线性变换．解 由已知所以有3．设,求解4．计算下列乘积：(1);(2);(3);(4);(5);(6).解(1)(2)(3)(4)(5)(6)5．设,，问：(1)吗?(2)吗?(3)吗?解(1),则(2)但故(3)而故6．举反列说明下列命题是错误的:（１）若,则;（２）若,则或;（３）若,且,则.解(1) 取,但(2) 取,但且(3) 取且但7．设,求.解利用数学归纳法证明:当时,显然成立,假设时成立,则时由
2、数学归纳法原理知:8．设,求.解首先观察由此推测用数学归纳法证明:当时,显然成立.假设时成立，则时，由数学归纳法原理知:9．设为阶矩阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵.证明 已知：则从而也是对称矩阵.10．设都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是.证明 由已知：充分性：即是对称矩阵.必要性：.11．求下列矩阵的逆矩阵：(1)；(2)；(3);(4); (5);(6)解(1)故(2)故存在从而(3),故存在而故(4)故(5)故存在而从而(6)由对角矩阵的性质知12．解下列矩阵方程：(1) ;(2) ;
3、(3) ;(4) .解(1) (2) (3) (4) 13．利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)(2)解 (1) 方程组可表示为故从而有(2)方程组可表示为故故有14．设(为正整数),证明.证明 一方面，另一方面，由有故 两端同时右乘就有15．设方阵满足,证明及都可逆,并求及.证明 由得两端同时取行列式:即 ,故 所以可逆,而故也可逆.由又由16．设,,求.解 由可得故17．设,其中,,求.解 故所以而故18．设次多项式,记称为方阵的次多项式.(1)设,证明:,;(2)设,证明:,.证明(1)i)利用数
4、学归纳法.当时命题成立,假设时成立,则时故命题成立.ii)左边=右边(2) i) 利用数学归纳法.当时成立假设时成立,则时成立,故命题成立,即ii)证明右边=左边19．设阶矩阵的伴随矩阵为，证明：(1) 若,则;(2) .证明(1) 用反证法证明．假设则有由此得这与矛盾，故当时有(2) 由于,则取行列式得到:若则若由(1)知此时命题也成立故有20．取,验证检验:而 故 21．设,求及解 ，令则故22．设阶矩阵及阶矩阵都可逆,求．解将分块为其中为矩阵,为矩阵为矩阵,为矩阵则由此得到故．
