【备战2013】高考数学专题讲座 第21讲 高频考点分析之平面向量探讨.doc

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1、【备战2013高考数学专题讲座】第21讲：高频考点分析之平面向量探讨1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。平面向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，它包括向量的概念和运算。向量的坐标表示，定比分点及数量积。以前教材中，在解析几何、复数中涉及到平面向量的问题，只是对一个概念的介绍；而在现在教材中，是高一的必学内容，教学大纲要求理解平面向量及其运算的意义，能

2、用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。一般来说，平面向量在高考中所占份量不大，一道选择题或填空题，结合2012年全国各地高考的实例，我们从以下三方面探讨平面向量问题的求解：1.平面向量的概念、性质和计算：2.平面向量的坐标表示和计算；3.平面向量与其它知识的综合。一、平面向量的概念、性质和计算：典型例题：例1.（2012年全国大纲卷理5分）中，边上的高为，若，则【】A．B．C．D．【答案】D。【考点】向量垂直的判定，勾股定理，向量的加减法几何意义的运用。【解析】∵，∴，∴在中，根据勾股定

3、理得。∴由等面积法得，即，得。∴。又∵点在上，∴。故选D。18例2.（2012年四川省理5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是【】A、B、C、D、且【答案】C。【考点】充分条件。【解析】若使成立，即要、共线且方向相同，即要。所以使成立的充分条件是。故选C。例3.（2012年天津市理5分）已知为等边三角形，，设点满足，，，若，则【】（A）　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ）【答案】A。【考点】向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.。【分析】∵=，=，又∵，且，，∴，即，即，∴，解得。

4、故选A。例4.（2012年天津市文5分）在△中，=90°，=1，设点满足，。若，则=【】（A）（B）（C）（D）218【答案】B。【考点】向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用。【分析】如图，设，则。又，。由得，即。故选B。例5.（2012年浙江省理5分）设，是两个非零向量【】A．若，则B．若，则C．若，则存在实数，使得D．若存在实数，使得，则【答案】C。【考点】平面向量的综合题。【解析】利用排除法可得选项C是正确的：∵

5、a＋b

6、＝

7、a

8、－

9、b

10、，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb，∴选项A：

11、

12、a＋b

13、＝

14、a

15、－

16、b

17、时，a，b可为异向的共线向量，不正确；选项B：若a⊥b，由正方形得

18、a＋b

19、＝

20、a

21、－

22、b

23、，不正确；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然

24、a＋b

25、＝

26、a

27、－

28、b

29、，不正确。故选C。例6.（2012年辽宁省理5分）已知两个非零向量a，b满足

30、a+b

31、=

32、ab

33、，则下面结论正确的是【】(A)a∥b(B)a⊥b(C)a=b(D)a+b=ab【答案】B。【考点】平面向量的运算，向量的位置关系。【解析】由

34、a+b

35、=

36、ab

37、，平方可得ab=0，所以a⊥b。故选B。18或根据向量加法

38、、减法的几何意义可知

39、a+b

40、与

41、ab

42、分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为

43、a+b

44、=

45、ab

46、，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b。故选B。例7.（2012年全国课标卷理5分）已知向量夹角为，且；则▲【答案】。【考点】向量运算。【解析】∵，∴。∵向量夹角为，且，∴，解得，。例8.（2012年北京市理5分）已知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点。则的值为▲；的最大值为▲【答案】1；1。【考点】平面向量的运算法则。【解析】如图，根据平面向量的运算法则，得。∵，正方形ABCD的边长为l，∴。又∵，而就是

47、在上的射影，要使其最大即要点E与点B重合，此时。∴的最大值为。例9.（2012年浙江省理4分）在中，是的中点，，，则▲．【答案】。【考点】平面向量数量积的运算。【解析】此题最适合的方法是特殊元素法：如图，假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，18AM＝3，BC＝10，由勾股定理得AB＝AC＝。则cos∠BAC＝，∴＝。例10.（2012年江苏省5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是▲．【答案】。【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。【解析】由，得，由矩形的性质，得。∵，∴，

48、∴。∴。记之间的夹角为，则。又∵点E为BC的中点，∴。∴。本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。例11.（2012年湖南省文5分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且，则=　　▲　　.18【答案】1