（江苏专用）2013年高考数学总复习 第二章第10课时 导数与函数的单调性、极值和最值随堂检测（含解析）.doc

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1、（江苏专用）2013年高考数学总复习第二章第10课时导数与函数的单调性、极值和最值随堂检测（含解析）1．函数f(x)＝＋cosx，x∈的单调减区间为________．解析：f′(x)＝－sinx，令f′(x)≤0，则sinx≥，故≤x≤.答案：2．已知f(x)＝x2＋2x＋alnx，若f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数，则实数a的取值范围为________．解析：由题意知，f′(x)＝2x＋2＋＝，∵f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数，∴f′(x)在区间(0,1]上恒大于等于0或恒小于等于0，∴2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在区间(0,1]上恒成立，即a≥－(2x2

2、＋2x)或a≤－(2x2＋2x)，而函数y＝－2x2－2x在区间(0,1]的值域为[－4,0)，∴a≥0或a≤－4.答案：a≥0或a≤－43．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝________.解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意即得a＝4或a＝－3.但当a＝－3时，b＝3，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，故不存在极值，∴a＝4，b＝－11，f(2)＝18.答案：184．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a(a为常数)，在区间[－2，2]上有最大值20，那么此函数在区间[－2,2]上的最小值为________．解析：f′(x)＝

3、－3x2＋6x＋9＝0得x＝－1或x＝3(舍去)，∵f(－2)＝2＋a，f(－1)＝－5＋a，f(2)＝a＋22，∴a＋22＝20，a＝－2.故最小值为f(－1)＝－7.答案：－75．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.解：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减↘2(1－ln2＋a)

4、单调递增↗2故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.即ex－x

5、2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.6．甲、乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化，甲水池蓄水量(百吨)与时间t(小时)的关系是：f(t)＝2＋sint，t∈[0,12]，乙水池蓄水量(百吨)与时间t(小时)的关系是：g(t)＝5－

6、t－6

7、，t∈[0,12]．问：何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值？最大值为多少？(参考数据：sin6≈－0.279)．解：设甲、乙两水池蓄水量之和为H(t)＝f(t)＋g(t)，当t∈[0,6]时，H(t)＝f(t)＋g(t)＝2＋sint＋5－(6－t)＝sint＋t＋1，H′(t)＝cost＋1≥0，所以H(t)在t∈[0,6]上单调递增

8、，所以[H(t)]max＝H(6)＝7＋sin6≈6.721；当t∈(6,12]时，H(t)＝f(t)＋g(t)＝2＋sint＋5－(t－6)＝sint－t＋13，H′(t)＝cost－1≤0，所以H(t)在t∈(6,12]上单调递减，所以H(t)＜6.721.故当t＝6小时时，甲、乙两水池蓄水量之和H(t)达到最大值，最大值约为6.721百吨．2