高考大一轮总复习.导数与函数的单调性、极值、最值

《高考大一轮总复习.导数与函数的单调性、极值、最值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§3.2　导数与函数的单调性、极值、最值考纲展示►　1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值．3．会用导数解决实际问题．考点1　利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数在(a，b)内的可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为________．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为_

2、_______．答案：增函数　减函数(1)[教材习题改编]函数f(x)＝ex－2x的单调递增区间是________．答案：(ln2，＋∞)(2)[教材习题改编]求f(x)＝x＋cosx，x∈R的单调区间．解：f′(x)＝1－sinx≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，即(－∞，＋∞)是f(x)的单调递增区间．导数符号与单调性．已知函数f(x)＝x3－ax2＋ax是R上的增函数，则实数a的取值范围为__________．答案：[0,3]解析：依题意，f′(x)＝3x2－2ax＋a≥0恒成立，

3、所以Δ＝4a2－12a≤0，解得0≤a≤3.[典题1]　设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内为单调递减函数，求实数a的取值范围．[解]　(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得即(2)由(1)，得f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)．①当a＝0时，f′(x)＝x2≥0恒成立，即函数f(x)在(－∞，＋∞)内为单调增函数

4、．②当a>0时，由f′(x)>0得，x>a或x<0；由f′(x)<0得，00得，x>0或x

5、－3，即实数a的取值范围为(－∞，－3]．[题点发散1]　在本例(3)中，若g(x)的单调减区间为(－2，－1)，如何求解？解：∵g(x)的单调减区间为(－2，－1)，∴x1＝－2，x2＝－1是g′(x)＝0的两个根，∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3.[题点发散2]　在本例(3)中，若g(x)在区间(－2，－1)上存在单调递减区间，如何求解？解：g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，即当x∈(－2，－1)时，a

6、仅当x＝即x＝－时等号成立．所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－2)．[题点发散3]　在本例(3)中，若g(x)在区间(－2，－1)上不单调，如何求解？解：∵g(x)在(－2，－1)上不单调，g′(x)＝x2－ax＋2，∴g′(－2)·g′(－1)<0或由g′(－2)·g′(－1)<0，得(6＋2a)(3＋a)<0，无解．由得即解得－3

7、(x)在R上为单调函数，则g′(x)≥0恒成立，∴Δ＝a2－8≤0，即a2≤8，∴－2≤a≤2.即实数a的取值范围为[－2，2]．[点石成金]　1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．2．若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”不能省略，否则可能会漏解.已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函

8、数f(x)的单调递减区间；(2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．解：(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a＝－2时，f′(x)＝2x－＝，由f′(x)＜0得0＜x＜1，故f(x)的单调递减区间是(0,1)．(2)由题意得g′(x)＝2x＋－，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数．①若g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x)＝－2x2，∵