（福建专用）2013年高考数学总复习 第二章第12课时 导数与函数的单调性、极值随堂检测（含解析）.doc

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1、（福建专用）2013年高考数学总复习第二章第12课时导数与函数的单调性、极值随堂检测（含解析）1．设f(x)＝kx－－2lnx.(1)若f′(2)＝0，求过点(2，f(2))的切线方程；(2)若f(x)在其定义域内为单调增函数，求k的取值范围．解：(1)由f(x)＝kx－－2lnx得f′(x)＝k＋－＝，f′(2)＝＝0，所以k＝.因为f(2)＝×2－×－2ln2＝－2ln2，过点(2，f(2))的直线方程为y－＋2ln2＝0(x－1)，即y＝－2ln2.(2)由f′(x)＝k＋－＝.令h(x)＝kx2－2x＋k，要使f(x)在其定义域(0，＋∞)上单调递增，只需h(x)在(0，＋∞)

2、内满足h(x)≥0恒成立．由h(x)≥0得kx2－2x＋k≥0，即k≥＝在x∈(0，＋∞)上恒成立．因为x>0，所以x＋≥2.所以≤1.所以k≥1.综上，k的取值范围为k≥1.2．设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a＞0.曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)确定b，c的值；(2)若过点(0,2)可作曲线y＝f(x)的三条不同切线，求a的取值范围．解：(1)由f(x)＝x3－x2＋bx＋c得：f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，f′(0)＝b，又由曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，得f(0)＝1，f′(0)＝0.故b＝

3、0，c＝1.(2)f(x)＝x3－x2＋1，f′(x)＝x2－ax，由于点(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)，而点(0,2)在切线上，所以2－f(t)＝f′(t)(－t)，化简得t3－t2＋1＝0，即t满足的方程为t3－t2＋1＝0.过点(0,2)可作y＝f(x)的三条切线，等价于方程2－f(t)＝f′(t)(0－t)有三个相异的实根，即等价于方程t3－t2＋1＝0有三个相异的实根．设g(t)＝t3－t2＋1，则g′(t)＝2t2－at＝2t.由于a＞0，故有2t(－∞，0)0g′(t)＋0－0＋g(t)极大值1极小值1－由g(t)的单调性知：要使g(

4、t)＝0有三个相异的实根，当且仅当1－＜0，即a＞2，∴a的取值范围是(2，＋∞)．2