2010年上海市杨浦高级中学高三二轮复习：数学与相关知识的综合.doc

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1、专题五数列与相关知识的综合【典型例题】例1：在平面上有一点列。对每个自然数，点位于函数的图象上，且点、点与点构成一个以为顶点的等腰三角形。（1）求点的纵坐标的表达式；（2）若，以为边长能构成一个三角形，求的取值范围；（3）设，若取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列的最大的项数。例2：已知首项为，公比为的等比数列，为它的前项和。（1）用表示；（2）是否存在正整数和，使得成立？用心爱心专心例3：设是二次曲线上的点，且，，构成一个公差为的等差数列，其中为坐标原点，记。（1）若的方程，点且，求点的坐标；（只需写出一个）（2）若的方程为，点，对于给定的自然数，当公差变化时，求的最小值；（3）请

2、选定一条除椭圆外的二次曲线及上一点，对于给定的自然数，写出符合条件的点，存在的充要条件，并说明理由。用心爱心专心例4：已知以为首项的数列满足：。（1）当时，求数列的通项公式；（2）当时，试用表示数列前项的和；（3）当（是正整数），，正整数时，求证：数列，，，成等比数列当且仅当。【巩固练习】1．记数列的前项和为，若，则数列的通项　　；2．设为等差数列，从中任取个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多有个。用心爱心专心解：由于下标成等差数列，所以首末项下标同奇偶3．。设展开式中项的系数为，则；设展开式中的系数为，则　　　　；4．已知数列的通项公式是，若对于一切大于的自然数，不

3、等式恒成立，则实数的取值范围是；5．设为正整数，在的范围内，使函数取整数函数值的的个数记为；设，若为单调递增数列，则的取值范围为　；6．数列共有项（为定值），它的前项和，现从项中抽取某一项（不抽首项和末项），余下的的平均值是。则数列的通项　　　　　；数列的项数；抽取的是第项。7．已知是递增数列，且对任意，都有，则实数的取值范围是；8．已知二次函数，当时，其抛物线在轴上截得的线段长依次为，则的值为；9．已知，则数列的最小值为（）A．B．C．D．10．若数列的前项的值各异，且对任意都成立，则可取遍前项值的数列可表示为（）A．B．C．D．11．已知分别是轴、轴正方向上的单位向量，，，对任意的正

4、整数，用心爱心专心（1）若，求的值；（2）求；（3）设向量，求最大的整数，使得对任意的正整数，都有。12．已知数列是首项为，公比为的等比数列。（1）求和：；（2）由（1）的结果归纳概括出正整数的一个结论，并加以证明；（3）设，是等比数列的前项的和，求。13．已知函数，其中，。（1）在坐标系上画出的图象；（2）设的反函数为，求数列的通项公式，并求；（3）若，，，求。用心爱心专心14．函数是定义在上的增函数，满足且，在每个区间上，的图象都是斜率为同一常数的直线的一部分。（1）求及的值，并归纳出的表达式；（2）设直线，轴及的图象围成的梯形的面积为，记，求的表达式，并写出其定义域和最小值。专题五

5、数列与相关知识的综合答案【典型例题】例1：在平面上有一点列。对每个自然数，点位于函数的图象上，且点、点与点构成一个以为顶点的等腰三角形。（1）求点的纵坐标的表达式；（2）若，以为边长能构成一个三角形，求的取值范围；（3）设，若取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列的最大的项数。用心爱心专心解：（1）由，点与点构成一个以为顶点的等腰三角形知，。（2）函数递减，对，有，则以为边能构成一个三角形的充要条件是，即。解之得或，。（3），，于是。数列是一个递减的正项数列，对每一个自然数，有，于是当时，；当，，故数列的最大项的项数满足不等式，且。由，解得，。例2：已知首项为，公比为的等比数列，为它的

6、前项和。（1）用表示；（2）是否存在正整数和，使得成立？解：（1）由条件可知。则。（2）要使，即，只要满足。，不存在满足条件的正整数和。注：当然本题同学们很多都是用主元思想做的，即把或者当作主元来解分是方程，用心爱心专心例：以为主元例3：设是二次曲线上的点，且，，构成一个公差为的等差数列，其中为坐标原点，记。（1）若的方程，点且，求点的坐标；（只需写出一个）（2）若的方程为，点，对于给定的自然数，当公差变化时，求的最小值；（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线及上一点，对于给定的自然数，写出符合条件的点，存在的充要条件，并说明理由。解：（1），由，得。由，解得点的坐标可以为。（2）原点到二次

7、曲线上各点的最小距离为，最大距离为。，，且。。，在用心爱心专心上递增。故的最小值为。（3）若双曲线，点，则对于给定的，点存在的充要条件是。原点到双曲线上各点的距离，且，点存在当且仅当，即。若抛物线，点，则对于给定的，点存在的充要条件是。理由同上。若圆，点，则对于给定的，点存在的充要条件是。原点到圆上各点的最小距离为，最大距离为，且，且，即。例4：已知以为首项的数列满足：。（1）当时，求数列的通项公式；（2）当时，试用表示数列前项的和