北邮复变函数课件.ppt

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1、§3泰勒(Taylor)级数第四章级数两类问题:在收敛圆域内解析函数求和展开一、泰勒定理其中泰勒级数泰勒展开式定理设在区域内解析,为内的一为到的边界上各点的最短距离,那末点,时,成立,当泰勒介绍.内任意点如图:.K.由柯西积分公式,有其中K取正方向.则证明:由高阶导数公式,上式又可写成其中可知在K内令则在K上连续,即存在一个正常数M,在内成立,从而在K内圆周的半径可以任意增大,只要内成立.在的泰勒展开式,在泰勒级数如果到的边界上各点的最短距离为那末在的泰勒展开式在　　　　内成立．因为凡满足的必能使由上讨论得重要定理——泰勒展开定理在的泰勒级数的收敛半径至少等于　，但说

2、明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多;(想一想,为什么?)4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.(为什么?)因为　　解析，可以保证无限次各阶导数的连续性;所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.注意问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？那末即因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.二、将函数展开成泰勒级数常用方法:直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系数例如，故有仿照上例,2.间接展开法:借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它

3、数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.例如，附:常见函数的泰勒展开式例1解上式两边逐项求导,例2解例3解例4解即微分方程对微分方程逐次求导得:奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题奇函数的泰勒级数只含z的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含z的偶次幂项.思考题答案放映结束，按Esc退出.泰勒资料Born:18Aug1685inEdmonton,Middlesex,EnglandDied:29Dec1731inSomersetHouse,London,EnglandBrookTaylor