高中数学解题方法谈：走进生活中的优化问题.doc

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1、走进生活中的优化问题　　1．优化问题　　生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大（小）值的强有力的工具.　　2．解实际应用问题的程序读题建模（文字语言）（数学语言）求解反馈（数学应用）（检验作答）　　（1）函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，把变量转化成函数关系式，确定自变量的定义域；　　（2）问题求解中所得出的结果要符合问题的实际意义.　　3．实际问题的最值中为什么不必考虑端点的函数值　　有关函数最大值与最小值的实际问

2、题只涉及单峰函数，因而只有一个极值点，这个极值就是问题中所指的最值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不必考虑端点的函数值.　　例1　已知某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为，求产量q为何值时，利润L最大？　　分析：利润Ｌ等于收入Ｒ减去成本Ｃ，而收入Ｒ等于产量乘价格，由此可得出利润与产量q的函数关系式，再利用导数求最大利润.　　解法1：收入，　　利润，　　，令，得　.　　∵当时，；当84＜q＜200时，，　　∴当q=84时，L取得最大值.　　解法2：同解法1可得　　　　∴

3、当q=84时，L取得最大值782，　　即产量为84时，利润Ｌ最大.用心爱心专心　　评注：关键是根据题意列出函数关系式，解法1是利用导数求最值，而解法2是利用配方法求最值，比较这两种方法，解法1运算量比较小，且使用范围广，具有一般性，而解法2运算量大，且仅适用于二次函数求最值.　　例2　某银行准备新设一种定期存款业务，经测算：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去.　　（1）若存款利率为，试写出存款量及银行应支付给储户的利息与存款利率x之间的函数关系式；

4、　　（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？　　解：（1）由题意，存款量，　　银行应支付的利息.　　（2）设银行可获得的收益为y，则.　　，令得x=0（舍去）或x=0.032.　　当时，；　　当时，，　　∴当x=0.032时，y取得最大值.　　即当存款利率为3.2％时，银行可获得最大收益.　　评注：该例是用导数解决优化问题，应注意函数的建模过程中自变量的取值范围.用心爱心专心