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时间:2020-06-28
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1、导数在经济分析中的应用一、导数的经济意义—边际二、经济中的最值问题三、函数的相对变化率—函数的弹性边际成本为:经济学家把函数的导数(函数的变化率)称为该函数的边际值边际收入为:边际利润为:一、导数的经济意义—边际(1)收入(益)最大(2)利润最大(3)成本最低(4)总产量或平均产量最高(5)征税收益最大(6)最佳时间选择(7)存货模型二、经济中的最值问题例1解:1)当需求量达到1000件时即当商品价格为625元时,市场需求量可达1000件.(2)总收益函数为R=pq价格p为3.66时,R有最大值这时,产量为:但商品以“百件”计量,不能分割,所以q取整数,取q=4(百件),
2、q=5(百件)q=4时q=5时所以价格为4千元时,销售400件,总收入16000元,达到最大。解例2平均成本函数为:A(3000)为最小值,解例3征税收益问题:厂商生产产品,追求最大利润,而政府对产品要征税,希望征税收益最大设税率为t——即单位产品的税收金额;产量q;收益R;成本C征税总收益税后总成本税后总利润解例4征税收益税后总成本税后总利润由于获最大利润的条件是:所以,税后获最大利润的产量是:征税收益函数为所以,征税收益最大的税率是:最大征税收益是:此时:此时产品的价格为:例:商品甲每单位价格10元,涨价1元,商品乙每单位价格1000元,涨价1元,两种商品的绝对改变量
3、都是1元,但各与其原价相比,两者涨价的百分比却不同,商品甲涨了10%,商品乙涨了0.1%。所以,还需讨论函数的相对改变量与相对改变率——弹性三、函数的相对变化率—函数的弹性一般地,f(x)的弹性函数定义为:需求弹性为:弹性的经济意义:解:说明当p=3时,价格上涨1%,需求减少0.6%说明当p=6时,价格上涨1%,需求减少1.2%说明当p=5时,价格与需求变动的幅度相同用需求弹性分析总收益的变化:总收益函数(1)若<1,需求变动的幅度小于价格变动的幅度,此时,R>0,R递增,即价格上涨,总收益增加,价格下降,总收益减少。(2)若>1,需求变动的幅度大于价格变动的幅度,
4、此时,R<0,R递减,即价格上涨,总收益减少,价格下降,总收益增加。(2)若=1,需求变动的幅度等于价格变动的幅度,此时,R=0,R取得最大值。解:说明:当p=6时,价格上涨,总收益将增加求价格增长1%,R增长的百分比,即求R对p的弹性:所以当p=6时,价格上涨1%,总收益约增加0.67%所以当p=12时总收益最大,最大总收益为72例7:某商品进价为a(元/件),根据以往经验,当销售价为b(元/件)时,销售量为c件(a,b,c均为正常数,且b≥(4/3)a,市场调查表明,销售价每下降10%,销售量可增加40%,现决定一次性降价,问当销售价定位多少时,可获最大利润?并
5、求最大利润。解设p为降价后的销售价,q为降价后的销售量,L(x)为总利润,则所以,利润最大时的价格是:此时:最大利润是:例8某工厂生产某型号车床,年产量为a台,分若干批生产,每批生产准备费为b元.设产品均匀投放市场,且上一批用完后立即生产下一批,这种情形按批量的一半收取库存费,设每年每台收取的库存费为c元,试写出一年的库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.解:设批量为x,库存费与生产准备费的和为P(x)因年产量为a,所以每年生产的批数为则生产准备费为库存费为导数的经济意义:边际四、小结函数的相对变化率:弹性五、作业P109:6、7、9
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