九年级数学上册 《角平分线》同步练习1 北师大版.doc

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1、九年级上第一章第四节角平分线试题资料库：例1.如下图，AP、BP分别平分△ABO的外角，∠AOB＝40°，则∠AOP＝。解：20°例2.如图ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是ABC两底角的平分线，求证：BD＝CE。证明：ABC中∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB∴∴∠1＝∠2在BDC与CEB中∴BDCCEB（ASA）∴BD＝CE例3.已知：如图，∠C=90°∠B=30°，AD是RtΔABC的角平分线。求证：BD=2CD。-10-用心爱心专心分析：根据已知条件可求出∠BAC的度数，再由AD是ΔAB

2、C的角平分线，可分别求出上图中其余各角的度数，再证明结论就容易了。证明：由∠C=90°，∠B=30°，知∠BAC=60°。因AD是ΔABC的角平分线，故∠BAD=∠CAD=30°。则∠B=∠BAD。可知AD=BD。在ΔADC中，∠DAC=30°，∠C=90°，则AD=2CD。故BD=2CD。引申：该题中，若条件不变，如上图，从D点向AB作垂线交AB于点E，请问：ΔADE≌ΔADC是否成立？BD=2DE是否成立？不难看出，因为AD是ΔABC的角平分线，由角平分线的性质可知DE=DC，则ΔADE与ΔADC全等的条件可轻松找到，BD=2DE显然

3、也成立。这是在特殊角三角形的情况下考虑的，若推广到一般三角形的情况，解答该题的主要依据“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”依然是一个重要的解题条件。例4.已知：如下图，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F。求证：点F在∠DAE的平分线上。分析：该题图比较简单，单从上图中很难看出应该怎么证明结论。但问题既然涉及角平分线，我们很容易想到定理“在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上”，所以不妨过点F分别作BD，BC，CE的垂线段，这样就找到了解决问题的切入点。证明：如上图，过点F分别作BD，BC，CE的

4、垂线段FG，FH，FM。-10-用心爱心专心因BF是∠CBD的平分线，所以FG=FH。同理FH=FM，则FG=FM。因点F在∠DAE内，且点F到AD，AE的距离相等，故点F在∠DAE的平分线上。引申：该题中，若条件不变，请问：∠A与∠BFC有怎样的数量关系？请同学们进一步探索。例5.已知：如图1所示，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE//BC，交AB于D，交AC于E，求证：（1）BD+EC=DE图1（2）若将已知改为过一内角和一外角平分线交点作平行线，如图2所示，那么DB、EC和DE之间还存在怎样的关系。图2（3）若将已知改为过

5、两个外角平分线交点作平行线如图3所示，那么DB、CE、DE之间还存在什么关系。图3-10-用心爱心专心证明：（1）∵DE//BC，∴∠2=∠3∵∠1=∠2，∴∠1=∠3∴BD=DF，同理FE=EC∴BD+EC=DF+FE=DE（2）DE=BD－CE（3）DE=BD+CE 例6.如图所示，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且AB>AC，求证：BE－AC=AE证明：过D作DN⊥AC垂足为N，连结DB、DC则DN=DE，DB=DC又∵DE⊥AB，DN⊥AC 例7.已知：如图所示PA、PC分别是

6、△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。-10-用心爱心专心证明：过P作PE⊥AC于E∵PA、PC分别是∠MAC与∠NCA的平分线且PD⊥BM，PF⊥BN∴PD=PE，PF=PE∴PD=PF又∵PD⊥BM，PF⊥BN∴点P在∠MBN的平分线上即BP为∠MBN的平分线 例8.如图DE是ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分，求∠C的度数。解答：∵DE是AB的垂直平分线∴EA＝EB∴∠ABE＝∠1∵∴又AE平分∠BAC∴∠2＝∠1＝即∠BAC＝-1

7、0-用心爱心专心∴∠C＝－∠B－∠BAC＝例9.如图BD是ABC的角平分线，DE//BC交AB于E。求证：BED是等腰三角形。证明：∵BD是ABC的角平分线∴∠EBD＝∠DBC∵DE//BC∴∠EDB＝∠DBC∴∠EBD＝∠EDB∴EB＝ED，即BED是等腰三角形例10.已知：P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD＝PE，则点P在∠AOB的平分线上，请说明理由。分析：“点在线上”的另一种说法是“线经过点”。直接说明点P在∠AOB的平分线上不易说明，可以反过来先过P作射线OP，说明OP平分∠AOB，这样就相当于

8、说明了点P在角的平分线上。此时问题就转化为说明∠DOP＝∠EOP。解：作射线OP。∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO＝∠PEO＝90°∵PD＝PE，OP＝OP∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL