【学霸优课】2020数学（理科）一轮对点训练 10.3.1 抛物线的标准方程 含解析.doc

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1、1.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，

2、AF

3、＝x0，则x0＝(　　)A．1B．2C．4D．8答案　A解析　由y2＝x得2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线方程为l：x＝－，设A点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝

4、AF

5、，从而x0＋＝x0，解得x0＝1，故选A.2．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上，那么抛物线的方程是(　　)A．y2＝－16xB．y2＝12xC．y2＝16xD．y2＝－12x答案　C解析　由题设知直线3x－4y－12＝0与x轴的交点(4,0)即为抛物线的焦点，故其方程为y2＝16x.3．若抛物线y2＝2p

6、x(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.答案　2解析　y2＝2px的准线方程为x＝－，又p>0，所以x＝－必经过双曲线x2－y2＝1的左焦点(－，0)，所以－＝－，p＝2.4．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．答案　1.2解析　建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p＝，抛物线方程为x2＝y，所以当前最大流量对应的截面面积为2dx＝，原始的最大流量对应的截面面积为＝16，所以原始的最

7、大流量与当前最大流量的比值为＝1.2.5．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________.答案　1＋解析　由题意，知C，F.又C，F在抛物线y2＝2px(p>0)上，所以由②÷①，得＝，即b2－2ba－a2＝0，解得＝1±(负值舍去)．故＝1＋.6．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且

8、QF

9、＝

10、PQ

11、.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A、M、B、N四点在同一圆

12、上，求l的方程．解　(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝.所以

13、PQ

14、＝，

15、QF

16、＝＋x0＝＋.由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，

17、AB

18、＝

19、y1－y2

20、＝4(m2＋1)．又l′斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)

21、，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．故MN的中点为E＋2m2＋3，－，

22、MN

23、＝

24、y3－y4

25、＝.由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于

26、AE

27、＝

28、BE

29、＝

30、MN

31、，从而

32、AB

33、2＋

34、DE

35、2＝

36、MN

37、2，即4(m2＋1)2＋2＋2＝，化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.