【学霸优课】2020数学（理科）一轮对点训练 10.1.1 椭圆的标准方程 含解析.doc

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1、1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1答案　A解析　∵＋＝1(a>b>0)的离心率为，∴＝.又∵过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4，∴4a＝4，∴a＝.∴b＝，∴椭圆方程为＋＝1，选A.2．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0

2、AF1

3、＝3

4、F1B

5、，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．答案　x2＋y2＝1解析　不妨设点A在第一象限，∵AF

6、2⊥x轴，∴A(c，b2)，又

7、AF1

8、＝3

9、F1B

10、，∴＝3，得B将其代入椭圆方程化简得＋＝1，又c2＝1－b2，得b2＝，故椭圆E的方程为x2＋y2＝1.3．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则

11、AN

12、＋

13、BN

14、＝________.答案　12解析　如图，设MN的中点为P，则由F1是AM的中点，可知

15、AN

16、＝2

17、PF1

18、.同理可得可知

19、BN

20、＝2

21、PF2

22、.∴

23、AN

24、＋

25、BN

26、＝2(

27、PF1

28、＋

29、PF2

30、)．根据椭圆定义得

31、PF1

32、＋

33、PF2

34、＝2a＝6，∴

35、AN

36、＋

37、BN

38、＝12.4.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左

39、焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，

40、FM

41、＝.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．解　(1)由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线FM的斜率为k(k>0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有2＋2＝2，解得k＝.(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.因为点M在第一象限，可得M的

42、坐标为.由

43、FM

44、＝＝，解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.又由已知，得t＝>，解得－0，于是m＝，得m∈.②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0，于是m＝－，得m∈.综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.5．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的

45、离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点．过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.(ⅰ)求的值；(ⅱ)求△ABQ面积的最大值．解　(1)由题意知2a＝4，则a＝2.又＝，a2－c2＝b2，可得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.(ⅰ)设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．因为＋y＝1，又＋＝1，即＝1，所以λ＝2，即＝2.(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，

46、y2)．将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.由Δ>0，可得m2<4＋16k2.①则有x1＋x2＝－，x1x2＝.所以

47、x1－x2

48、＝.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积S＝

49、m

50、

51、x1－x2

52、＝＝＝2.设＝t.将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0

53、xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．解　(1)由题意，得＝且c＋＝3，解得a＝，c＝1，则b＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(