【学霸优课】2020数学（理科）一轮对点训练 10.1.2 椭圆的几何性质 含解析.doc

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1、1．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案　2＋y2＝解析　由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a>0，由4－a＝，解得a＝，所以该圆的标准方程为2＋y2＝.2.过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．答案　解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1①，＋＝1②.①、②两式相减并整理得＝－·.把已知条件代入上式得，－＝－×，∴＝，故椭圆的离心率e

2、＝＝.3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若

3、AB

4、＝10，

5、AF

6、＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.答案　解析　如图，设右焦点为F1，

7、BF

8、＝x，则cos∠ABF＝＝.解得x＝8，故∠AFB＝90°.由椭圆及直线关于原点对称可知

9、AF1

10、＝8，且∠FAF1＝90°，△FAF1是直角三角形，

11、F1F2

12、＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，e＝＝.4．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满

13、足

14、BM

15、＝2

16、MA

17、，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．解　(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝，进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，从而有解得b＝3.所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.5．如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F

18、2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若

19、PF1

20、＝2＋，

21、PF2

22、＝2－，求椭圆的标准方程；(2)若

23、PF1

24、＝

25、PQ

26、，求椭圆的离心率e.解　(1)由椭圆的定义，2a＝

27、PF1

28、＋

29、PF2

30、＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝

31、F1F2

32、＝＝＝2，即c＝，从而b＝＝1.故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)解法一：连接QF1，如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则＋＝1，x＋y＝c2，求得x0＝±，y0＝±.由

33、PF1

34、＝

35、PQ

36、>

37、PF2

38、得x0>0，从而

39、PF1

40、2＝2＋＝

41、2(a2－b2)＋2a＝(a＋)2.由椭圆的定义，

42、PF1

43、＋

44、PF2

45、＝2a，

46、QF1

47、＋

48、QF2

49、＝2a.从而由

50、PF1

51、＝

52、PQ

53、＝

54、PF2

55、＋

56、QF2

57、，有

58、QF1

59、＝4a－2

60、PF1

61、.又由PF1⊥PF2，

62、PF1

63、＝

64、PQ

65、，知

66、QF1

67、＝

68、PF1

69、，因此(2＋)

70、PF1

71、＝4a，即(2＋)(a＋)＝4a，于是(2＋)(1＋)＝4，解得e＝＝－.解法二：连接QF1，如上图，由椭圆的定义，

72、PF1

73、＋

74、PF2

75、＝2a，

76、QF1

77、＋

78、QF2

79、＝2a.从而由

80、PF1

81、＝

82、PQ

83、＝

84、PF2

85、＋

86、QF2

87、，有

88、QF1

89、＝4a－2

90、PF1

91、.又由PF1⊥PQ，

92、P

93、F1

94、＝

95、PQ

96、，知

97、QF1

98、＝

99、PF1

100、，因此，4a－2

101、PF1

102、＝

103、PF1

104、.

105、PF1

106、＝2(2－)a，从而

107、PF2

108、＝2a－

109、PF1

110、＝2a－2(2－)a＝2(－1)a.由PF1⊥PF2，知

111、PF1

112、2＋

113、PF2

114、2＝

115、F1F2

116、2＝(2c)2，因此e＝＝＝＝＝－.6.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．解　(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc

117、＝0，则原点O到该直线的距离d＝＝，由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.(2)解法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且

118、AB

119、＝.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝.从而x1x2＝8－2b2.于是

120、AB

121、＝

122、x1－x2

123、＝＝.由

124、AB

125、＝，得＝，解得b2＝3.故椭圆E的方程为＋＝1.解法二：由

126、(1)知，