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时间:2020-06-28
《【学霸优课】2020数学(理科)一轮对点训练 10.3.1 抛物线的标准方程 含解析.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,
2、AF
3、=x0,则x0=( )A.1B.2C.4D.8答案 A解析 由y2=x得2p=1,即p=,因此焦点F,准线方程为l:x=-,设A点到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=
4、AF
5、,从而x0+=x0,解得x0=1,故选A.2.如果抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y-12=0上,那么抛物线的方程是( )A.y2=-16xB.y2=12xC.y2=16xD.y2=-12x答案 C解析 由题设知直线3x-4y-12=0与x轴的交点(4,0)即为抛物线的焦点,故其方程为y2=16x.3.若抛物线y2=2p
6、x(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=________.答案 2解析 y2=2px的准线方程为x=-,又p>0,所以x=-必经过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),所以-=-,p=2.4.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.答案 1.2解析 建立如图所示的直角坐标系,可设抛物线的方程为x2=2py(p>0),由图易知(5,2)在抛物线上,可得p=,抛物线方程为x2=y,所以当前最大流量对应的截面面积为2dx=,原始的最大流量对应的截面面积为=16,所以原始的最
7、大流量与当前最大流量的比值为=1.2.5.如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=________.答案 1+解析 由题意,知C,F.又C,F在抛物线y2=2px(p>0)上,所以由②÷①,得=,即b2-2ba-a2=0,解得=1±(负值舍去).故=1+.6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且
8、QF
9、=
10、PQ
11、.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A、M、B、N四点在同一圆
12、上,求l的方程.解 (1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以
13、PQ
14、=,
15、QF
16、=+x0=+.由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),
17、AB
18、=
19、y1-y2
20、=4(m2+1).又l′斜率为-m,所以l′的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4)
21、,则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E+2m2+3,-,
22、MN
23、=
24、y3-y4
25、=.由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于
26、AE
27、=
28、BE
29、=
30、MN
31、,从而
32、AB
33、2+
34、DE
35、2=
36、MN
37、2,即4(m2+1)2+2+2=,化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
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