【全国通用】2020版高考数学理科一轮 课时分层作业二十四 3.6正弦定理和余弦定理含解析.doc

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1、温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后.关闭Word文档返回原板块.课时分层作业二十四正弦定理和余弦定理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cosA=,则b等于(　　)A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3【解析】选D.在△ABC中由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即5=b2+4-,解得b=3或b=-(舍去).2.(2018·潍坊模拟)在△ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为(　　)A.等

2、边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.因为cos2=,cos2=,所以(1+cosB)·c=a+c,所以a=cosB·c=,所以2a2=a2+c2-b2,所以a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形.3.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是(　　)A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定【解析】选C.因为=,所以sinB===>1,故此三角形无解.4.(2017·山东高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+

3、cosAsinC,则下列等式成立的是(　　)A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【解题指南】逆用两角和的正弦公式将原式化简,再结合正弦定理去判断.【解析】选A.2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAcosC+sinB=sinB+2sinBcosC,即sinAcosC=2sinBcosC,由于△ABC为锐角三角形,所以cosC≠0,sinA=2sinB,由正弦定理可得a=2b.5.(2018·长沙模拟)在△ABC中,A=,b2sinC=4sinB,则△ABC的面积为(　　)A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为

4、b2sinC=4sinB,所以b2c=4b,即bc=4,故S△ABC=bcsinA=2.【变式备选】在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=,a=3,S△ABC=2,则b的值为(　　)A.6　　　B.3　　　C.2　　　D.2或3【解析】选D.因为S△ABC=2=bcsinA,所以bc=6,又因为sinA=,所以cosA=,又a=3,由余弦定理得9=b2+c2-2bccosA=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC

5、+ccosA,则B=________. 【解析】由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,所以cosB=,又因为0

6、c=1,A=2B,则cosB的值为________.【解析】因为A=2B,=,b=3,c=1,所以=,可得a=6cosB,由余弦定理可得:a=6×,所以a=2,所以cosB==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018·成都模拟)已知三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin2A=cos2A,且角A为锐角.(1)求三角形内角A的大小.(2)若a=5,b=8,求c的值.【解析】(1)由题意,sin2A=cos2A,即tan2A=.所以2A=或者2A=,因为角A为锐角,所以A=.(2)由(1)可知A=,a=5,b=8;由余弦定理,2bccosA=c2+b2-a

7、2,可得:c2-8c+39=0,解得c=4+3或者4-3.10.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c.(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.【解析】(1)因为sinA+cosA=0,所以sinA=-cosA,所以tanA=-.因为A∈(0,π),所以A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,代入a=2,b