2020一轮北师大版（理）数学教案 选修4-4 第2节　参数方程含解析.doc

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1、第二节　参数方程[考纲传真]　1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数并且对于t取的每一个允许值，由这个方程组所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的

2、参数方程为(θ为参数)．(3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(φ为参数)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(　　)(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(

3、　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×2．(教材改编)曲线(θ为参数)的对称中心(　　)A．在直线y＝2x上　　B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上B　[由得所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．x－y－1＝0　[由x＝2＋t，且y＝1＋t，消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.]4．在平面直角坐标系xO

4、y中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．(2，－4)　[由ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，得x＋y＝－2.①由消去t得y2＝8x.②联立①②得即交点坐标为(2，－4)．]5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．[解]　椭圆C的普通方程为x2＋＝1.2分

5、将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得＋＝1，即7t2＋16t＝0，8分解得t1＝0，t2＝－，所以AB＝

6、t1－t2

7、＝.10分参数方程与普通方程的互化　已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．[解]　(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，2分圆C的普通方程为x2＋y2＝16.4分(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，8分解得－2≤a≤2.10分[规律方法]　1.将参数方程化为普通方

8、程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形．[变式训练1]　在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．[解]　直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，4分所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过椭圆的右顶点(3,0)，则3－0－a＝0，所以a＝3.10分参数方程的应用　已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1

9、)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求

10、PA

11、的最大值与最小值.【导学号：57962486】[解]　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.4分(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝

12、4cosθ＋3sinθ－6

13、，则

14、PA

15、＝＝

16、5sin(θ＋α)－6

17、，其中α为锐角，且tanα＝.8分当sin(θ＋α)＝－1时，

18、PA

19、取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，

20、PA

21、取得最小值，最小值

22、为.10分[规律方法]　1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．[变式训练2]　(2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方