2020届高考数学二轮复习_第一部分_2_二、综合性—着眼题型_凸显能力_学案_含解析.doc

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1、二、综合性——着眼题型　凸显能力数学文化　三角与向量　解析几何与向量　函数与不等式　概率与实际应用　直线与圆锥曲线试题的综合性是高考试题的重中之重，其主要特征是多知识点的交汇，条件和结论由紧密相关的知识构成，是知识网的具体体现，该类问题多呈现在向量与三角、向量与解析几何、概率与应用、直线与圆锥曲线、函数与不等式、数列与方程或函数、平面几何与立体几何等等．解答此类问题必须注意以下三点：(1)理清知识体系．(2)建立知识网络关系．(3)注重目标的达成．综合性典例解析核心素养数学文化1.(2018·高考全

2、国卷Ⅰ)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(　　)A.p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3[目标]　考查数学文化与几何概型，考查圆与三角形面积和运算求解能力解析：选A.法一：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域

3、Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝bc，区域Ⅱ的面积S2＝π×＋π×－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以S1＝S2，由几何概型的知识知p1＝p2，故选A.法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝2，所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－＝2，区域Ⅲ的面积S3＝－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝，p3＝，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.续　表综合性典例解析核心素养数学文化2.(201

4、8·高考全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)A.B.C.D.[目标]　考查数学文化与古典概型，考查素数的定义与性质和运算求解能力解析：选C.不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P

5、＝＝，故选C.三角与向量3.(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)A.30°B．45°C．60°D．120°[目标]　考查向量的基本运算和三角函数的求值解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos∠ABC＝＝＝，则∠ABC＝30°.4.(2017·高考全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝解析：选A.λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)A.3B．2C.D．2[目标]　考查直线与圆的位置关系，考查向量的线性运算和数形结合思想、转

6、化化归思想，考查三角函数的相关知识以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，D(0，2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝，因为P在圆C上，所以P，＝(1，0)，＝(0，2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，所以λ＋μ＝2＋cosθ＋sinθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tanφ＝2，选A.解析几何与向量5.(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F

7、，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)A.5B．6C．7D．8[目标]　考查直线与抛物线的位置关系，考查转化化归思想和向量的坐标运算解析：选D.过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，所以·＝8.故选D.续　表典例解析核心素养综合性解析几何与向量6.(2018·高考全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，

8、线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．(1)证明：k<－；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：2

9、

10、＝

11、

12、＋

13、

14、.[目标]　考查直线与椭圆的位置关系，考查转化化归思想和向量的坐标运算解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.两式相减，并由＝k得＋·k＝0.由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①由题设得0＜m＜，故k＜－.(2)由题意得F(1，0)．设P(x3，y3)，则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，