2020届高考数学文二轮复习讲义：专题八系列4选讲_第二讲_(选修4－5)不等式选讲_含解析.doc

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1、第二讲　(选修4－5)不等式选讲重要定理]1．绝对值不等式定理1：如果a，b是实数，则

2、a＋b

3、≤

4、a

5、＋

6、b

7、，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么

8、a－c

9、≤

10、a－b

11、＋

12、b－c

13、，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)

14、ax＋b

15、≤c(c>0)和

16、ax＋b

17、≥c(c>0)型不等式的解法①

18、ax＋b

19、≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c.②

20、ax＋b

21、≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(2)

22、x－a

23、＋

24、x－b

25、≥c(c>0)和

26、x－a

27、＋

28、x－b

29、≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式几何意义求解，体现

30、数形结合思想．②利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．③通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想．3．证明不等式的基本方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法．4．二维形式的柯西不等式若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．失分警示]1．应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件．特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立．2．利用基本不等式证明要注意“一正、二定、三相等”三个条件同时成立，缺一不可．3．在去掉绝对值符号进行分类时要做到不重不漏．考点　绝对值不等式

31、　　典例示法题型1　绝对值不等式的解法典例1　　2015·沈阳模拟]设函数f(x)＝

32、2x＋1

33、－

34、x－4

35、.(1)解不等式f(x)＞2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．解]　(1)解法一：令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－，x＝4.原不等式可化为：或或所以原不等式的解集为.解法二：f(x)＝

36、2x＋1

37、－

38、x－4

39、＝画出f(x)的图象y＝2与f(x)图象的交点为(－7,2)，.由图象知f(x)＞2的解集为.(2)由(1)的解法二中的图象知：f(x)min＝－.题型2　含绝对值不等式的恒成立问题典例2　　2016·长春质检]设函数f(x)＝

40、x＋2

41、＋

42、x－a

43、(a∈R)．(1)若不

44、等式f(x)＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若不等式f(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围．解]　(1)当a≥0时，f(x)＋a≥0恒成立，当a<0时，要保证f(x)≥－a恒成立，即f(x)的最小值

45、a＋2

46、≥－a，解得－1≤a<0，故a≥－1.(2)由题意可知，函数y＝f(x)的图象恒在直线y＝x的上方，画出两个函数图象可知，当a≤－2时，符合题意，当a>－2时，只需满足点(a，a＋2)不在点的下方即可，所以a＋2≥a，即－2

47、解去掉绝对值的不等式．④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法求解不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．2．解决含参数的绝对值不等式问题的两种常用方法(1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决；(2)借助于绝对值的几何意义，先求出f(x)的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围．3．解答含参数的绝对值不等式应熟记的几个转化f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)a有解⇔f(x)max>a；f(x)

48、；f(x)>a无解⇔f(x)max≤a；f(x)

49、x＋1

50、＋

51、x－1

52、，不等式f(x)<4的解集为M.(1)求M；(2)当a，b∈M时，证明：2

53、a＋b

54、<

55、4＋ab

56、.解]　(1)f(x)＝

57、x＋1

58、＋

59、x－1

60、＝当x<－1时，由－2x<4得－21时，由2x<4得1

61、a2－4)(4－b2)<0，∴4(a＋b)2<(4＋ab)2，∴2

62、a＋b

63、<

64、4＋ab

65、.不等式证明的常用方法(1)不等式的证明常利用综合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法；(2)证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法：①利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明；②利用三角不等式

66、

67、a

68、－

69、b

70、

71、≤

72、a±b

73、≤

74、a

75、＋

76、b

77、进行证明；③转化为函数问题，利用数形结合进行证明．针