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1、5.6平面向量的数量积及运算律(一)*教学目标:1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;4.掌握向量垂直的条件.教学重点:平面向量的数量积定义教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用一、复习引入:一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘运算,记作λa,它的长度和方向规定如下:(1)
2、λa
3、=
4、λ
5、
6、a
7、(2)当λ>0时,λa的方向与a方向相同;当λ<0时,λa
8、的方向与a方向相反;特别地,当λ=0或a=0时,λa=0实数λ与向量a的积设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有:①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移s(如图)θFS力F所做的功W可用下式计算W=
9、F
10、
11、S
12、cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发,我们引入向量“数量积”的概念。二、新课教学:向量a与b夹角∠AOB=θ(00≤θ≤1800)叫做向量a与b的夹角AOBabθ1.两个非零向量夹角的概念说明:(1)当
13、θ=0时,a与b同向;(2)当θ=π时,a与b反向;(3)当θ=时,a与b垂直,记a⊥b;(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围0≤≤1802.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量
14、a
15、
16、b
17、cos叫a与b的数量积,记作ab,即有ab=
18、a
19、
20、b
21、cos,(0≤θ≤π).并规定零向量与任何向量的数量积为0。ab=
22、a
23、
24、b
25、cos,(0≤θ≤π).探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向
26、量,符号由cos的符号所决定。(2)两个向量的数量积称为内积,写成ab;今后要学到两个向量的外积a×b,而ab是两个向量的数量的积,书写时要严格区分。符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.(3)在实数中,若a0,且ab=0,则b=0;但是在数量积中,若a0,且ab=0,不能推出b=0。因为其中cos有可能为0。(4)已知实数a、b、c(b0),则ab=bca=c。但是ab=bca=c如右图:ab=
27、a
28、
29、b
30、cos=
31、b
32、
33、OA
34、,bc=
35、b
36、
37、c
38、c
39、os=
40、b
41、
42、OA
43、ab=bc但ac(5)在实数中,有(ab)c=a(bc),但是(ab)ca(bc)显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,3、平面向量数量积的物理意义。4、向量b在a方向上的投影ABOabB1θABOB1θABO(B1)θ定义:
44、b
45、cos叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当=0时投影为
46、b
47、;当=180时投影为
48、b
49、。向量的数量积的几何意义:数
50、量积ab等于a的长度与b在a方向上投影
51、b
52、cos的乘积。①e·a=a·e=
53、a
54、cosθ.②a⊥ba·b=0.③当a与b同向时,a·b=
55、a
56、
57、b
58、;当a与b反向时,a·b=-
59、a
60、
61、b
62、.特别地,a·a=
63、a
64、2或
65、a
66、=。⑤
67、a·b
68、≤
69、a
70、
71、b
72、④5.两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量。解:a·b=
73、a
74、
75、b
76、cosθ=5×4×cos120°=5×4×(-1/2)=-10例1已知
77、a
78、=5,
79、b
80、=4,a与b的夹角θ=120°,求a·b。例2已知a=(1,1)
81、,b=(2,0),求a·b。解:
82、a
83、=√2,
84、b
85、=2,θ=45°∴a·b=
86、a
87、
88、b
89、cosθ=√2×2×cos45°=2三、例题解析:例3判断正误,并简要说明理由.①a·0=0;②0·a=0;③0-④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0;⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;⑦对任意向量a,b,с都有(a·b)с=a(b·с)⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2.解:上述8个命题中只有③⑧正确;对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有0·a=0对于②:应有0·a=0;对于
90、④:由数量积定义有|a·b|=|a|·|b|·|cosθ|≤|a||b|,这里θ是a与b的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有|a·b|=|a|·|b|;对于⑤:若非零向量a、b垂直,有a·b=0;对于⑥:由a·b=0可知a⊥b可以都非零;对于⑦:若a与с共线,记a=λс.则a·b=(λс)·b=λ(с·b)=λ(b·с),∴(a·b)·с=λ(b·с)с=(b·с)λс=(b·с)a若a与с不共线,则(a·b)с≠