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时间:2020-06-27
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1、1.3.2奇偶性第2课时奇偶性的应用1.函数的单调性与奇偶性经常结合在一起,注意掌握下列结论:奇函数在[a,b]和[-b,-a]上有相同的单调性;偶函数在[a,b]和[-b,-a]上有相反的单调性.知识梳理(2)两偶函数之积(商)也为偶函数;一奇一偶函数之积(商)为奇函数.(注意:取商时分母不为零)2.在定义域的公共部分内(1)若f(x)和g(x)都是奇函数,则f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)×g(x)f(x)÷g(x)的奇偶性如何?思考2:二次函数是偶函数的条件是什么?一次函数是奇函数的条件是什么?b=0思考
2、1:常数函数具有奇偶性吗?有没有又奇又偶函数推广??已知函数在某区间上的函数解析式,求对称区间上的函数解析式.求解方法是:首先设出所求区间上的自变量,利用奇、偶函数定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知的区间上,代入已知的解析式,然后再次利用函数的奇偶性求解即可.要点一利用奇偶性求函数解析式例1已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,求:(1)f(0);(2)当x<0时,f(x)的解析式;(3)f(x)在R上的解析式.【分析】由于函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以有f(-x)=
3、-f(x),令x=0即可求得f(0).x>0时的解析式是已知的,利用奇函数的定义,即可求出x<0时的解析式.“求谁设谁”【反思与悟】若奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,则必有f(0)=0,f(x)在定义域内的解析式分区间给出时,f(x)的解析式要用分段函数表示.变(1)若f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x(1-x),求当x≥0时,函数f(x)的解析式.解:∵f(x)是奇函数,∴当x>0时,f(x)=-f(-x)=-(-x)[1-(-x)]=x(1+x);当x=0时,f(0)=-f(0),
4、即f(0)=0.∴当x≥0时,f(x)=x(1+x).例1已知f(x)是奇函数,且当时,,求当时f(x)的解析式.例2设函数,已知是偶函数,求实数m的值.作业例3已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x都有,若当时,,求的值.4.探要点、究所然奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同.偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.要点二函数奇偶性与单调性的综合问题变2.已知函数f(x)是偶函数,在x<0时单调递增,设x1<0,x2>0,且
5、x1
6、<
7、x2
8、,则有( )A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)
9、10、x111、)>f(12、x213、),∴f(-x1)>f(-x2).选A.答案:A自变量的正负不统一,应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间,然后再根据单调性判断.【分析】f(x)是奇函数→列关于x的恒等式→列关于a,b的方程→定义法证明单调性.②当-10,即f(x1)>f(x2).所以函数f(x)在(-1,0)上是减函数例4.例5.214、.已知奇函数y=f(x),x∈(-1,1)在(-1,0]上是减函数,解不等式f(1-x)+f(1-3x)<0.1.已知函数f(x)(x∈R)是奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-1,求函数f(x)的解析式.作业5.已知定义在R上偶函数y=f(x),在(0,+∞)上是增函数,解不等式f(x)
10、x1
11、)>f(
12、x2
13、),∴f(-x1)>f(-x2).选A.答案:A自变量的正负不统一,应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间,然后再根据单调性判断.【分析】f(x)是奇函数→列关于x的恒等式→列关于a,b的方程→定义法证明单调性.②当-10,即f(x1)>f(x2).所以函数f(x)在(-1,0)上是减函数例4.例5.2
14、.已知奇函数y=f(x),x∈(-1,1)在(-1,0]上是减函数,解不等式f(1-x)+f(1-3x)<0.1.已知函数f(x)(x∈R)是奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-1,求函数f(x)的解析式.作业5.已知定义在R上偶函数y=f(x),在(0,+∞)上是增函数,解不等式f(x)
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