函数的性质——奇偶性

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1、2.1.3函数的简单性质——奇偶性xy0Y=x2Y=x3结论：我们发现上面几个图形和函数图象都具有对称性，有的关于直线对称，有的关于点呈中心对称，有的有特殊的对称性那么在我们数学领域里，我们会研究函数图象的某对称性！观察下图，思考并讨论以下问题：(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=

2、x

3、实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(

4、-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)如果图象上有任意一点（x0,y0),那么大家会发现什么规律？总有一点（-x。,y。)在

5、图象上-如果函数图象上有一点（x0,y0),大家又会得到怎样的规律？总有一点（-x0,-y0)在图象上函数的奇偶性的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)偶函数如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)奇函数例1：判定下列函数是否为偶函数或奇函数用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)、先求定义域，看是否关于原点对称(2)；解析式化简(3)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是

6、否恒成立.思考：1.一次函数y=kx+b是奇函数吗？2.反比例函数是奇函数吗？3.二次函数一定是定义在R上的偶函数吗？4.函数的定义域对函数有没有影响？5.有没有函数既不是奇函数也不是偶函数，请举出一例6.有没有一个函数既是奇函数也是偶函数，也请举出一例？3.奇偶函数图象的性质1、奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.2、偶函数的图象关于y轴对称.反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.说明：奇偶函数图象的性质可用于：a、

7、简化函数图象的画法.B、判断函数的奇偶性拓展：例2：判断函数奇偶性？变式：判断函数是否具有奇偶性？例3：已知函数y=f(x)是定义在R上奇函数，当求（1）f(-1);(2)若t<0,求f(t)小结：1.判断函数奇偶性的步骤和方法：先看定义域是否关于原点对称然后在找f(x)与f(-x)间的关系2.奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规律奇+奇=奇偶+偶=偶奇X奇=偶偶X偶=偶3.已知函数性质，求其它区间上函数的解析式