06、函数的性质--奇偶性

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1、函数的奇偶性一、知识点：1.奇函数：对于函数f(X)定义域内任意一个X,都有f(—X)=—f(x)[或f(X)+f(―X)二0〕，则称f(X)为奇函数.2.偶函数：对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(—x)二f(x)〔或f(x)—f(―x)二0〕，则称f(x)为偶函数.3.奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.(3)若奇函数的定义域包含数0,则f(0)二0.(4)奇函数在关于原

2、点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。k4.指出一次函数y二kx+b、反比例函数y—(k=#0)、二次函数y=ax2+bx+c的奇偶性X5.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y=/(兀)，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何一个值时，都有,则称y=f(x)是周期函数，称T为这个函数的周期。(2)最小正周期：如果在周期函数/(兀)的所有周期中，的正数，那么这个最小正数就叫做/(兀)做的最小正周期。注意：若T为函数/(X)的周期，则T的非零整数倍也是函数/(兀)的周期。二、练习：1

3、、下面四个结论中，正确的是(填序号)答案：③①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定经过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)二0(xER)解：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)=0[xe(-a,a)〕.2、判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=(x-1/*+A(2)y=—-—+1(3)/(x)=

4、x—11+1x4-1(4)f(x)兀)(兀<0),Vl-x•2v-1111[x(l+x)(x>0).3、已知函数f(x)二

5、ax'+bx+c(a=A0)是偶函数，那么g(x)二ax'+bx'+cx是函数(填“奇”或“偶”)解：由f(x)为偶函数，知b=0,有g(x)二ax'+cx(a=/=0)为奇函数.4、若函数/(兀)=仗—2)疋+伙—1)兀+3是偶函数，则/(x)的递减区间是答案：[0,+oo)解：R—1=0,比二1,/(x)=—X2+3.5、函数f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数，定艾域为[a—1,2a],则a=_,b=;函数的值域为。a=—>b=0解：定艾域关于原点对称，故有a-1=-2a,得a=-•又对于所给解析式，3要使f(—x)=f

6、(x)恒成立，应b=0.JC1—ci6、已知函数/G)=—是奇函数，则实数°的值为Vl-x27、若函数/(兀)=££三是奇函数，且/(2)=-,求实数的值。3x_q28、已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当尢〉0时，/(x)=2X,则/(—2)=・答案：—49、f(x)是［—2,2］上的奇函数，若在［0,2］上f(x)有最大值5,则f(x)在［—2,0］上有最_值是。10、(1)设f(x)是(-8,+8)上的偶函数，且f(x+2)二-f(x),当xe［0,1］时，f(x)二x,贝Uf(5.5)的值为o(2)y=f(x)是定义在

7、R上的奇函数,满足/(%+2)=-/(%),当xg(0,2)时,/(x)=2x2,M/(2011)=_11、已^y=f(x)是定义在R上的偶函数，且满足/(%+2)=-/(%)，则/(9)=—12•若函数是奇函数，当x<0时，f(x)的解析式是f(x)二x(1-x),则当x>0时,f(x)的解析式是.13、已知定义在(-oo,+oo)上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)二x-2x+2,求函数f(x)的解析式.14、定义在(一1,1)上的函数f(x)是奇函数，并且在(一1,1)上f(x)是减函数，求满足条件f(

8、1—a)+f(1-a2)<0的a取值范围.15、已知函数y二f(x)是偶函数，y=f(x-2)在［0,2］上是单调减函数，则f(一1)、f(0)、f(2)的大小关系是解：由f(x-2)在［0,2］上单调递减，・・・f(x)在［一2,0］上单调递减.・・・y二f(x)是偶函数，・・・f(x)在［0,2］上单调递增.又f(一1)二f(1),填：f(0)

9、结合图象来解.17、设函数f(x)二竺竽是定义在(T,1)上的奇函数，且f(-)=-,1+x225(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(一1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t一1)+f(t)