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1、数学建模中的 层次分析法层次分析法简介层次分析法是萨蒂（saaty)等人于20世纪70年代提出的一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径。它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可的定量依据。层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。层次分析法简介一、层次分析法基本原理分解建立确定计算判断实际问题层次结构多个因素诸因素的相对重要性权向量综合决策第一层第二层第三层结点（变量）结点结点结点结点结点结点结点结点结点结点结点二、层次分析法基本步骤1、建立层次结构模型例对学生的评价目标层准
2、则层项目层(指标层)眼对学生的评价德智体思想道德语文数学……肺二、层次分析法基本步骤2、确定权系数w1，w2，…，wn，其满足：wi0,3、建立综合评判函数设x1,x2,…xn为对应各因素的决策变量，其线性组合：y=w1x2+w2x2+…+wnxn是综合评判函数。例对学生的评价对学生的评价德智体0.30.550.150.50.50.20.250.15…眼思想道德语文数学…肺语文计算机0.150.1语文成绩对学生评价中的权系数为：0.2×0.55=0.11例某处招聘工作人员，由此建立如下的层次结构模型对象的评分知识能力表现x1x2x3x4x5x6x7x80.2370.3480.4150.50.
3、1540.3460.2500.7500.4920.1470.361语文知识外语知识政治经济时事知识计算机操作能力公关能力容貌与气质体形高矮与胖瘦音色评价指标对应于目标层的权向量（系数）评价公式即对所有xi均采用5分制，今有三人应聘，各指标如下所示：x1x2x3x4x5x6x7x8甲55554345乙32455543丙33425554按公式分别求出综合分为4.181，4.3，4.286，由高到低排序为乙、丙、甲。对权重系数的量化过程（1）成对比较从x1,x2,…xn中任取xi与xj比较它们对于y贡献（重要程度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值：xi/xj＝1，认为“xi与xj重要程度相同”x
4、i/xj＝3，认为“xi比xj重要程度略大”xi/xj＝5，认为“xi比xj重要程度大”xi/xj＝7，认为“xi比xj重要程度大很多”xi/xj＝9，认为“xi比xj重要程度绝对大”当比值为2，4，6，8 时认为介于前后中间状态。（2）建立成对比较矩阵由xi/xj建立n阶方阵A(3)迭代按下列方法求向量迭代序列：e0=(1/n1/n…1/n)Te’k=Aek-1
5、
6、e’k
7、
8、为Aek-1的n个分量之和ek=e’k/
9、
10、e’k
11、
12、,k=1,2,…数列｛ek｝是收敛的，记其极限为e.且记e=(a1a2…an)于是取权重系数wi=ai例：评价影视作品在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：x1
13、表示教育性x2表示艺术性x3表示娱乐性有一名专家经成对赋值：x1/x2=1x1/x3=1/5x2/x3=1/3于是得到成对比较矩阵由于e4=e3,迭代经过4次中止，权系数是w1=0.156,w2=0.185,w3=0.659如果用同样的分制来给作品的三个指标评分，由以上公式算出的便是作品综合评分y。相应的综合评价公式是Y=0.156x1+0.185x2+0.659x32468比较尺度aijSaaty等人提出1~9尺度——aij取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍强强明显强绝对强aij=1,1/2,,…1/9的重要性与上面相反心理学家认为成对比较的因素不宜超过9
14、个用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优。便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途例2.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地”思维过程的归纳将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权
15、重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地成对比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全
