数学建模——层次分析法.ppt

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1、数学建模主讲教师曾慧平——层次分析法§2层次分析法的基本步骤1建立层次结构模型将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。最高层：决策的目的、要解决的问题。最低层：决策时的备选方案。中间层：考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。下面举例说明。例1大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：①能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适合发挥自己的专长）；②工作收入较好（待遇好）；③生活环

2、境好（大城市、气候等工作条件等）；④单位名声好（声誉等）；⑤工作环境好（人际关系和谐等）⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。1.建立层次结构模型1.建立层次结构模型例2选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择。1.建立层次结构模型例3科研课题的选择某研究所现有三个科研课题，限于人力及物力，只能研究一个课题。有三个须考虑的因素：(1)科研成果贡献大小(包括实用价值和科学意义)；(2)人材的培养；(3)课题的可行性(包括课题的难易程度、研究周期及资金)。在这些因素的影响下，如何选择课题?1.建立层次结构模型1.建立层次结构模型层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层

3、的相对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择方案的原则。1.建立层次结构模型2构造成对比较矩阵确定各层次各因素之间权重的方法：（1）不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较；（2）采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。1.两两比较假设要比较某一层个因素对上一层一个因素的影响，如旅游决策问题中比较景色等个准则在选择旅游地这个目标中的重要性。每次取两个因素和，用表示和对的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵表示。由于（8.2.1）式给出了的特点。称为正互反矩阵。显然必有，如用依次表示景色、费用、居住

4、、饮食、旅途5个准则，设某人用成对比较法（做次对比）得到的成对比较阵（正互反阵）为：(8.2.2)（8.2.1）2构造成对比较矩阵2构造成对比较矩阵2.比较尺度当比较两个可能具有不同性质的因素和对于一个上层因素的影响时，Saaty提出用1—9尺度（见下表），即的取值范围是，及其互反数。其理由如下：（1）在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有5种明显的等级，分别为相同、影响稍强、影响强、影响明显强、影响绝对的强。（2）心理学家认为，进行成对比较的因素太多，将超出人的判断能力。最多大致在范围。如以9个为限，用1－9尺度表示它们之间的差别正合适1-9尺度的含义尺度含义1与的影响相同3比的影响稍强

5、5比的影响强7比的影响明显的强9比的影响绝对的强2，4，6，8与的影响之比在上述两个相邻等级之间1，1/2，…，1/9与的影响之比为上面的互反数2构造成对比较矩阵3、问题的提出（8.2.2）中表示景色与费用对选择旅游地这个目标的重要性之比为1：2；表示景色与居住条件之比为4：1；表示费用与居住条件之比为7：1。可以看出此人在选择旅游地时，费用因素最重，景色次之，居住条件再次。问题1.怎样由成对比较阵确定诸因素对上层因素的权重呢？2构造成对比较矩阵由给出的成对比较阵可以发现，既然与之比为1:2，与之比为4:1，那么与之比应为8:1,而不是7:1，才能说明成对比较是一致的。但是，个要素要作次成对

6、比较，全部一致的要求是太苛刻了。问题2.怎样确定这种不一致的容许范围？为了解决上面两个问题，我们先考察成对比较完全一致的情况2构造成对比较矩阵设想把一块单位重量的大石头砸成块小石头如果精确地称出它们的重量为，在作成对比较时令，那么得到(8.2.3)2构造成对比较矩阵这些比较显然是一致的，块小石头对大石头的权重（即在大石头中的重量比）可用向量表示，且.显然，的各个列向量与仅相差一个比例因子。一般地，如果一个正互反阵满足（8.2.4）2构造成对比较矩阵则称为一致性矩阵，简称一致阵。容易证明阶一致阵有下列性质。1.的秩为1，的惟一非零特征根为；2.的任一列向量都是对应于特征根的特征向量。如果得到的

7、成对比较阵是一致阵，像（8.2.3）式的自然应取对应于特征根的，归一化的特征向量（即分量之和为1）表示诸因素，对上层因素的权重，这个向量称为权向量。2构造成对比较矩阵如果成对比较阵不是一致阵，但在不一致的容许范围内，则用最大特征根（记作）对应于的特征向量（归一化后）作为权向量。直观地看，因为矩阵的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素，所以当离一致性的要求不远时，的特征根和特征向量与一致阵的相差不大。2构造成