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1、定积分应用面积，弧长，旋转体体积，旋转曲面表面积例1.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:机动目录上页下页返回结束例2.求连续曲线段解:的弧长.机动目录上页下页返回结束例3.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则(利用对称性)机动目录上页下页返回结束方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积机动目录上页下页返回结束例4.求曲线与x轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.解:利用对称性,故旋转体体积为在第一象限机动目录上页下页
2、返回结束旋转体的侧面积设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:机动目录上页下页返回结束侧面积元素的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△S的机动目录上页下页返回结束注意:侧面积为例5.计算圆x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:对曲线弧应用公式得当球台高h＝2R时,得球的表面积公式机动目录上页下页返回结束设平面图形A由与所确定,求图形A绕直线x＝2旋转一周所得旋转体的体积.提示：选x为积分变量.旋转体的体积
3、为例6.机动目录上页下页返回结束若选y为积分变量,则向量代数及解析几何数量积，向量积，混合积，平面，直线，曲线曲面，二次曲面例1.已知向量的夹角且解：机动目录上页下页返回结束解：相交,求此直线方程.的方向向量为过A点及面的法向量为则所求直线的方向向量方法1利用叉积.所以一直线过点且垂直于直线又和直线例2机动目录上页下页返回结束设所求直线与的交点为待求直线的方向向量方法2利用所求直线与L2的交点.即故所求直线方程为则有机动目录上页下页返回结束代入上式,得由点法式得所求直线方程而机动目录上页下页返回结束例3
4、.将曲线L化为参数方程表示.在曲线L上求一点P，使得在该点P处的切线的方向向量与三个坐标轴正向的夹角都相等。解:根据方程引入参数t,得所求为机动目录上页下页返回结束由于切向量与三个坐标轴的夹角都相等，则设P点坐标曲线在P点的切线的切向量例4.求与两平面x–4z=3和2x–y–5z=1的交线提示:所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程平行,且过点(–3,2,5)的直线方程.机动目录上页下页返回结束例5.求过点(2,1,3)且与直线垂直相交的直线方程.提示:先求二直线交点P.化已知直线方程为参数方程,代
5、入①式,可得交点最后利用两点式得所求直线方程的平面的法向量为故其方程为①过已知点且垂直于已知直线机动目录上页下页返回结束例6.设一平面平行于已知直线且垂直于已知平面求该平面法线的的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量机动目录上页下页返回结束所求为思路:先求交点例7.求过点且与两直线都相交的直线L.提示:的方程化为参数方程设L与它们的交点分别为再写直线方程.机动目录上页下页返回结束三点共线机动目录上页下页返回结束例8.直线绕z轴旋转一周,求此旋转转曲面的方程.提示:在L
6、上任取一点旋转轨迹上任一点,则有得旋转曲面方程机动目录上页下页返回结束多元微分法一元微分与多元微分的相同，不同；求偏导数，全微分（含隐函数的高阶偏导数），方向导数，梯度，散度；极值（含条件极值），有界闭区域上连续函数的最大值，最小值；几何应用（曲线的切线，法平面；曲面的切平面，法线）。例1.设解:机动目录上页下页返回结束例2.设解法1利用隐函数求导机动目录上页下页返回结束再对x求导解法2利用公式设则两边对x求偏导机动目录上页下页返回结束例3.设解:机动目录上页下页返回结束例4.设是曲面在点P(1,1,1
7、)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数机动目录上页下页返回结束例5.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角.2.求函数在椭球面上点处沿外法线方向的方向导数机动目录上页下页返回结束曲线1.(1)在点解答提示:机动目录上页下页返回结束函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量机动目录上页下页返回结束2.例6.求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线
8、方程解法1令则即切向量机动目录上页下页返回结束法平面方程即机动目录上页下页返回结束解法2.方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量机动目录上页下页返回结束例7.求曲线在点(1,1,1)的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.机动目录上页下页返回结束已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点
