定积分的例题

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1、WORD格式整理定积分例题一、定积分的概念及性质例1.用定积分的几何意义求.解:函数在区间[0,1]上的定积分是以为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积.因为以为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形是一直角三角形,其底边长及高均为1,所以.例2.用定积分的几何意义求.解:因为在区间上有正有负,所以等于上位于轴上方的图形面积减去轴下方的图形面积,所以.例3.比较下列各对积分的大小：（1）与解：当时，，从而（2）与解：当时，，所以，从而解：当时，，所以，从而（2）与解：当时，，所以，从而专业知识分享WORD格式整理二、微积分基本定理例1.求下列函数的导数：（1）；（2）解:（1）.（

2、2）例2.计算.解:由于是的一个原函数,所以.例3.计算.解由于是的一个原函数,所以.例4.计算.解=ln1-ln2=-ln2.例5.计算解：原式=例6.计算正弦曲线在[0,π]上与轴所围成的平面图形的面积.解：这图形是曲边梯形的一个特例.它的面积=-(-1)-(-1)=2.三、换元积分法例1.计算.解设，则专业知识分享WORD格式整理当时，；当时，例2.计算解：设，则当时，；当时，例3.计算解：设，则当时，，时，.=例4.计算.解.例5.解：令，则原式=例6.计算专业知识分享WORD格式整理解：解法一设，则当时，；当时，解法二注：如并不明显写出新变量，则定积分的上下限就不用变。例7.

3、计算解：原式=四、分部积分例1.计算解设，=例2.计算解例3.计算解例4.计算.解令,则.专业知识分享WORD格式整理五、定积分的应用例1计算抛物线与直线所围成的图形面积.解：1、先画所围的图形简图解方程,得交点：和。2、选择积分变量并定区间选取为积分变量，则3、给出面积元素在上，在上，4、列定积分表达式=18另解：若选取为积分变量，则显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。例2求，所围成的图形的面积.解，，，专业知识分享WORD格式整理当时，于是专业知识分享